Contents

• Introduction
  • Notices bibliographiques
  
  
• Générateurs des nombres au hasard
  • Introduction
  • Le développement historique
  • Générateurs uniformes sur
    • Récurrences congruentielles de rang 1
    • Décalage du registre
  • Générateurs des lois autres que l'uniforme
    • Méthodes générales
    • Génération de variables aléatoires selon les lois usuelles
  • Génération des nombres pseudo-aléatoires corrélés
  • Suites déterministes, systèmes dynamiques et nombres au hasard
    • Systèmes dynamiques, transformations et théorèmes ergodiques
    • Exposants de Lyapunov
    • Entropie et quantité d'information
    • Mesures de Gibbs pour les systèmes dynamiques
    • Suites pseudo-aléatoires et complexité de Kolmogorov
  • Pseudo-aléatoire ou quasi-aléatoire ?
    • Exemples de suites à fiable écart
  • Exemples des mauvais générateurs (encore!) utilisés de nos jours
  • Calcul distribué et générateurs des nombres au hasard
    • Notices bibliographiques
  • Exercices
  
  
• Épreuves empiriques sur les suites pseudo-aléatoires
  • Épreuves arithmétiques
    • Uniformité de distribution
    • Écart
  • Méthodes générales de mise à l'épreuve des hypothèses statistiques
    • Épreuve du
    • Épreuve de Kolmogorov et Smirnov
    • Autres épreuves possibles
  • Analyse spectrale et détection de sous-périodes
  • Épreuves statistiques pour les suites pseudo-aléatoires
    • Épreuve d'équi-répartition unidimensionnelle
    • Épreuve d'équi-répartition multidimensionnelle
    • Épreuve des lacunes
    • Épreuve du ``poker''
    • Épreuve du ``collectionneur des séries complètes''
    • Épreuve des permutations
    • Épreuve du maximum
    • Coefficient de corrélation
    • Épreuves sur les sous-suites
  • Exercices
  
  
• Simulations Monte Carlo directes
  • Simulations simples
    • Estimateurs
    • Un exemple illustratif simple
    • Efficacité d'une simulation Monte Carlo
    • Intervalles de confiance
    • Notions d'erreur systématique et de reproductibilité statistique
  • Simulations composites
  • Exemples
    • Temps d'échappement du système solaire d'une comète
    • Estimation de la durée d'une partie de tennis
    • Estimation du nombre moyen de clients servis dans une banque
    • Estimation du cardinal d'une réunion d'ensembles finis
  • Techniques de réduction de la variance
    • Échantillonnage selon l'importance
    • Échantillonnage corrélé
    • Variables antithétiques
  • Nécessité d'un autre type de simulations
  • Exercices
  
  
• Percolation: un modèle simple de phénomène critique
  • Définition du modèle
  • Motivation
  • Quelques problèmes fondamentaux de la percolation
  • Autres problèmes intéressants
  • Repésentation de Fortuin et Kasteleyn
  • Exercices
  
  
• Marches aléatoires sans recoupement
  • Marches aléatoires ordinaires sur
    • Description locale
    • Description trajectorielle globale
  • Marches aléatoires sans recoupement sur
    • Définitions
    • Motivations
    • Quelques résultats connus
  • Exposants critiques
  • Simulation Monte Carlo dynamique
    • L'algorithme Monte Carlo
    • Comportement asymptotique de l'algorithme
  • Marches aléatoires dans un environnement aléatoire ou dynamique
  • Exercices
  
  
• Description gibbsienne de grands systèmes
  • Formulation mathématique
    • L'espace des configurations
    • La description du modèle
    • Les conditions DLR
  • Applications du formalisme de Gibbs
    • Mécanique statistique
    • Description gibbsienne d'une image numérisée
    • Graphes et épidémiologie
    • Description gibbsienne d'un ensemble de marches aléatoires
  
  
• Simulations dynamiques
  • Construction d'algorithmes à l'équilibre
  • Algorithmes de Metropolis
    • Balayage aléatoire
    • Balayage séquentiel
  • Algorithme de Kawasaki
  • Algorithme du réservoir thermique
  • Exemples d'application
    • Aimantation spontanée
    • Description statistique d'une image numérisée
  • Exercices
  
  
• Aspects dynamiques des algorithmes à l'équilibre
  • Corrélations
  • Le temps exponentiel d'auto-corrélation
  • Estimation des erreurs
    • Temps d'auto-corrélation intégré
    • Intervalles de confiance
  
  
• Rappels sur les chaînes de Markov inhomogènes
  • Conditions de convergence
  • Principe du recuit simulé
  • Exemples d'application du recuit simulé
    • État fondamental d'un alliage magnétique avec des impuretés
    • Restauration d'images
    • Le problème du voyageur de commerce
  • Problème d'ensembles indépendantes
  • Processus d'évolution
  • Exercices
  
  
• Réseaux neuronaux et processus d'apprentissage
  • Notions de physiologie du cerveau
  • Introduction au calcul neuronal
  • Deux exemples de réseaux neuronaux
    • Le réseau neuronal de McCulloch et Pitts
    • Le perceptron
  • Calculabilité neuronale des fonctions booléennes
  • Le procédé d'apprentissage
  • Un exemple de mémoire associative
  • Réseaux neuronaux stochastiques
    • L'hamiltonien de réseau neuronal
    • Probabilité de transfert
    • Formalisme gibbsien du réseau neuronal
  • Le procédé de reconstitution
  
  
• Intégration stochastique
  • Le mouvement brownien
  • Le bruit blanc
  • L'intégrale stochastique par rapport à la trajectoire brownienne
    • Motivation
    • Approximation de Riemann-Stieltjes de l'intégrale stochastique
  • Intégration stochastique par rapport à une semi-martingale
    • Calcul stochastique
    • Formule de Itô
  • Simulation Monte Carlo d'une intégrale stochastique
  • Exercices
  
  
• Équations différentielles stochastiques
  • Équations différentielles stochastiques régulières
  • Équations différentielles stochastiques de Itô
  • Méthodes numériques pour les équations différentielles déterministes
  • Méthodes numériques pour les équations différentielles stochastiques
    • Schéma d'Euler
    • Schéma de Milstein
  • Exemples d'application
    • Réponse de la suspension d'un véhicule
    • Prix d'options d'achat selon le modèle de Black et Scholes
  • Exercices
  
  
• Rudiments de la théorie des graphes
  • Définitions de base
  • Planarité
  • Dualité
  
  
• Les trois ``ensembles'' statistiques selon Gibbs
  • L'ensemble microcanonique
  • L'ensemble canonique
  • L'ensemble grand canonique
  
  
• Du fonctionnement et de la programmation des ordinateurs
  • Où la soustraction n'est qu'une addition déguisée
  • Architecture et fonctionnement de l'ordinateur
  • Du programme-source au module exécutable
  • Le choix du langage
    • Le langage FORTRAN
    • Le langage PASCAL
    • Le langage C
  
  
• Quelques problèmes de révision
  • Marche aléatoire de longueur indéterminée
  • Marche aléatoire à extrémités fixes
  • Un modèle de croissance
  • Décomposition simpliciale adaptative
  • Une équation différentielle stochastique pour minimiser une fonction
  
  
• Bibliography
• Index
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