Les conditions DLR

On est maintenant parvenu au point où il est possible d'introduire une probabilité non-triviale sur pour un modèle hamiltonien donné. Pour cela, fixons une partie finie de , le potentiel d'interaction de portée finie et une configuration .

Selon la terminologie en usage, la spécification de Gibbs qui est donnée plus haut correspond à un ensemble statistique de Gibbs canonique. D'autres spécifications sont possibles, comme celle correspondant à un ensemble statistique de Gibbs microcanonique ou à un ensemble statistique de Gibbs grand canonique^7.3, chacune d'elles peut s'avérer plus efficace pour la détermination de telle ou telle grandeur. En réalité toutes sont équivalentes entre elles, ce qui est connu sous le nom d'équivalence des ensembles.

Il est à noter que la spécification de Gibbs est un noyau de probabilité qui généralise la notion de matrice de transition pour une chaîne de Markov étudiée à un chapitre précédent. En réalité est un noyau markovien puisque on a la

Pour une multitude d'applications, la construction du noyau markovien est suffisante. C'est, en particulier, le cas pour toutes les applications relatives au traitement d'image puisque est alors fini. La situation se complique quand peut devenir arbitrairement grand pour couvrir finalement tout le graphe dénombrable .

Il y a des cas où admet une limite quand . Dans ce cas

pour -presque toute configuration . Cette remarque a amené Dobrushin, Lanford et Ruelle (DLR) à chercher toutes les probabilités [#!Dob!#,#!LanRue!#] vérifiant cette condition

Ces mesures, si elles existent, sont appelées mesures de Gibbs spécifiées par .

La condition DLR est très réminiscente de la condition exigée par le théorème de Kolmogorov, où l'on cherche une mesure sur un espace infini en fixant les marginales à volume fini ; ici, on fixe les probabilités conditionnelles à volume fini. Elle est cependant moins restrictive que la condition de Kolmogorov, de telle sorte que « l'extension » ne soit pas nécessairement unique. Le passage du régime d'unicité au régime de coexistence de plusieurs mesures limites est appelé, en physique, transition de phase.

L'étude de l'ensemble dans le cas général est en dehors du cadre de ce cours. Il faut admettre à ce niveau que sous certaines conditions et sous d'autres . Pour certains cas particuliers, ceci peut être facilement démontré en se servant de l'argument de Peierls introduit dans le chapitre . Le cas général peut s'avérer cependant assez compliqué. Le cas d'unicté est à rapprocher d'une chaîne de Markov irréductible et apériodique qui est ergodique tandis que le cas d'existence de plusieurs mesures de Gibbs correspond à une brisure d'ergodicité. D'excellents livres sont consacrés à l'étude de l'ensemble [#!Geo!#,#!Pru!#] et à certaines des applications de ce formalisme [#!BenMetPri!#,#!Guy!#].