Prix d'options d'achat selon le modèle de Black et Scholes

On suppose que l'on investisse sur deux actifs financiers, un actif à revenu fixe du type ``obligation'' et un actif risqué du type ``action''. Le prix de l'actif à revenu fixe évolue de manière déterministe

où est le taux d'intérêt instantané. Le prix de l'actif risqué évolue selon l'équation stochastique

A chaque instant on choisit de répartir l'investissement en unités à revenu fixe et unités à revenu variable de telle manière que la valeur totale du portefeuille d'investissement soit donnée par

On suppose que le coût des transactions est nul de manière à pouvoir arbitrer sans perte d'argent. Ce modèle simple, introduit par Black et Scholes, est étudié exhaustivement dans la littérature [EL KAROUI ET AL., LAMBERTON ET AL.].

Une option d'achat européenne est un contrat établi en temps qui permet d'acquerir au temps une unité de l'actif risqué à un prix fixé au moment initial. Si alors l'investisseur exerce son droit d'achat, sinon il ne fait rien. Ainsi, la valeur intrinsèque du contrat au temps est . Le problème que l'on se pose est quel est le prix qu'il faut payer en temps pour couvrir ce risque.

On dit qu'une stratégie de couverture, à prix initial , existe, s'il est possible de trouver un processus d'arbitrage , avec et adaptés (en fait prévisibles) à la filtration naturelle du brownien, tel que si

alors, pour tout , on ait

1. ,
2. , pour tout et
3. .

Plusieurs variantes, plus réalistes que ce modèle simple, sont introduites en mathématiques financières. Pour ces cas plus compliqués, le seul moyen d'étude que l'on dispose est la simulation numérique.