Quelques résultats connus

On regroupe dans la suite quelques rares résultats analytiques connus au sujet des marches sans recoupement.

Les résultats les plus précis concernent le cardinal de l'ensemble des marches sans recoupement.

Il est évident que la contrainte de non recoupement exclut le retour immédiat en arrière. Donc,

Par ailleurs, si à chaque étape on choisit un des vecteurs , la marche est nécessairement sans recoupement, donc .

Ce résultat donne un encadrement assez grossier du nombre de marches sans recoupement. Asymptotiquement, ce résultat peut être affiné. On a d'abord besoin du

Évidemment,

Reste à montrer que . Soit un entier positif et

Or, tout entier peut être décomposé en où et sont des entiers et . On a alors, par sous-additivité,

Par conséquent,

On est maintenant en mesure de démontrer une estimation asymptotique du nombre de marches sans recoupement sous la forme suivante :

Toute marche sans recoupement de longueur consiste d'une marche sans recoupement de longueur juxtaposée à une marche sans recoupement de longueur . Or, cette juxtaposition ne donne pas toujours naissance à un marche sans recoupement. Donc,

La fonction est alors sous-additive et en vertu du lemme précédent on a . La borne garantit que .

Plus la dimension est petite, plus la contrainte de non recoupement est sévère^6.3. Ainsi, en il y a exactement deux marches sans recoupement de longueur , ce qui correspond à un nombre de coordination effectif de . En dimension deux et trois les nombres de coordination effectifs sont estimés numériquement et on trouve [#!BerSok!#] et [#!deFKouPet86!#]. Quand devient très grande, il a été montré [#!Kes64!#] que la marche sans recoupement se comporte comme une marche ordinaire où l'on interdit uniquement les retours immédiats en arrière, puisqu'il a été établi que

Finalement, il a été montré [#!Kes63!#] que

mais la conjecture

reste toujours ouverte !