Graphes et épidémiologie

Une autre application du formalisme gibbsien est la description statistique d'une population soumise à des facteurs infectieux. Si les processus de contact ont permis de mettre en évidence les caractéristiques qualitatives des infections épidémiques, ils ne donnent pas une description suffisamment détaillée et réaliste pour aider la prise des décisions prévisionnelles par les pouvoirs publics. Avec l'épidémie du syndrome immuno-déficitaire acquis (SIDA), nos sociétés ont besoin d'outils d'analyse fine. Une approche par description gibbsienne a été tentée récemment [#!Bla_SPMgt__SPMgt__SPMgt_!#] avec l'avantage de fournir une modélisation très souple pouvant prendre en considération divers facteurs comportementaux qui peuvent influencer la vitesse de propagation.

Les individus de la société décrite sont associés aux sommets d'un graphe . La structure du graphe sera définie à l'aide d'une fonction , sensée décrire le comportement sexuel de chaque individu au temps (discrétisé) . Les propriétés imposées à cette fonction sont

• Pour tout , il existe une constante et deux entiers positifs et tels que si alors pour tout .

La fonction permet de définir la structure de graphe correspondant à l'instant par

On remarque que contrairement aux cas précédents, la structure du graphe est une caractéristique qui change avec le temps. Les états possibles de chaque individu -- espace d'états à un site -- sont codés sur un ensemble où l'on assigne l'état 0 à l'état « sain », 1 à l'état « infecté non infectieux », 2 à l'état « infecté et infectieux », 3 à l'état « atteint asymptomatique », 4 à l'état « atteint symptomatique » et 5 à l'état « mort ». L'état global de la population décrite sera codé par une configuration .

L'évolution de l'épidémie est décrite par un processus stochastique à valeurs dans . Le changement d'état s'effectue localement et si représente la projection , on a une dynamique spatio-temporelle décrite par le noyau de transitions

qui est un noyau markovien. Les probabilités de transition sont exprimées en termes de potentiels d'interaction ad hoc. Il faut remarquer -- et en tenir compte dans la modélisation -- que l'état 5 est un état absorbant.

Les questions que l'on peut aborder par ce formalisme sont, par exemple, de

• déterminer le nature et la vitesse de croissance -- sous-linéaire, linéaire, exponentielle -- de l'ensemble
• déterminer le taux de létalité asymptotique i.e.
  
  
  
  où .