Équations différentielles stochastiques de Itô

Le problème que l'on s'apprête à résoudre s'écrit formellement

où est un bruit blanc.

On a vu dans le chapitre précédent que l'intégration selon la trajectoire d'un bruit blanc dépend de l'approximation de Riemamm-Stieltjes utilisée. Il est donc plus commode d'écrire le problème aux condition initiales sous la forme d'équation intégrale

où la dernière intégrale est déterminée selon la méthode de Itô. Le terme faisant intervenir la fonction est appelé terme de dérive^13.1et le terme correspondant à , terme de diffusion.

La notion de la solution de l'équation différentielle stochastique de Itô est précisée dans [LAMBERTON ET AL].

Les conditions d'existence et d'unicité de l'équation differentielle stochastique de Itô sont données par le

Voir, par exemple, [LAMBERTON ET AL.].

L'étude analytique d'équations différentielles stochastiques sort du cadre de ce cours ; d'excellents traités sont d'ailleurs consacrés au sujet [SOBCZYK]. Ici, on se limite à présenter les rudiments de méthodes numériques d'étude d'équations différentielles stochastiques.