Description gibbsienne de grands systèmes

Toute simulation d'un grand système nécessite une modélisation préalable adéquate. On a vu dans le chapitre que la description microscopique est redondante et très souvent inutilisable ou inutile; la seule information pertinente étant donnée par une mesure de probabilité sur l'espace des configurations du système. La caractérisation du système se fera alors par le calcul des espérances d'un petit nombre de variables macroscopiques. Ainsi, un système magnétique sera caractérisé non pas par les alignements microscopiques des aimantations des atomes le composant mais par le calcul d'une aimantation globale; l'état d'un marché non pas par les prix de tous les actifs financiers le composant mais par la donnée de quelques indices globaux.

Pour plusieurs grands systèmes, c'est une extension de la notion de chaîne de Markov qui permet d'introduire cette modélisation adéquate. La notion de chaîne de Markov, pour utile qu'elle soit, reste tributaire de la structure totalement ordonnée du « temps » sous-jacent. Or, ce qui est important pour la théorie des chaînes de Markov est la structure temporelle locale de la matrice de transition, c'est à dire le fait que la probabilité d'un événement à un instant donné ne dépend que du passé immédiat. Il est donc naturel de généraliser la notion de chaîne, définie sur l'ensemble totalement ordonné , à un objet indexé par un graphe non-orienté arbitraire (ensemble dénombrable de sommets muni d'une topologie définie par la connectivité du graphe). L'ordre naturel de , utilisé par les chaînes de Markov, sera remplacé par un ordre d'inclusion des sous-ensembles du graphe. L'objet ainsi généralisé, soumis à certaines conditions de compatibilité, est appelé champ de Markov sur le graphe [#!Kin!#].