Un modèle de croissance

On se propose d'étudier un modèle de croissance à temps continu [DURRETT]. Ce modèle est décrit par un processus stochastique indexé par les réels positifs () et à valeurs dans les parties de ( ). Intuitivement, un site (individu) admettra deux états possibles, 0 (sain) ou 1 (infecté), et sera l'ensemble d'individus infectés au temps . La croissance (propagation de l'infection) se fait selon les règles suivantes :

• si un individu est infecté au temps , il reste infecté pour tous les temps ultérieurs
• le taux de croissance est proportionnel au nombre de voisins infectés.

Le but de ce problème est a) d'introduire une discrétisation exacte du modèle qui permet une simulation efficace et b) d'obtenir la vitesse asymptotique de croissance.

Définitions

Soit un espace probabilisé et un processus stochastique indexé par les réels positifs () à valeurs dans les parties de ( ). Dans la suite, on notera au lieu de .

Soit la distance sur . On utilisera la notation pour signifier . Soit la tribu engendrée par les variables aléatoires , . Le modèle est défini par les règles

R.1

si alors pour tout

R.2

si alors

où

et par la condition initiale pour non-vide. Pour expliciter la dépendance de la condition initiale, on note dans la suite pour le processus défini ci-dessus avec condition initiale .

Questions

1. Pour chaque paire de proches voisins , , on introduit un processus de Poisson d'intensité 1, indexé par les paires c'est-à-dire une suite de variables aléatoires , où (en imposant ) , est une suite de variables aléatoires indépendantes et de loi exponentielle avec intensité 1 (c'est-à-dire pour ). On visualise l'évolution temporelle du processus en se servant de l'espace comme espace de représentation : au dessus de chaque point on considère une fibre et aux instants (aléatoires) on dessine une flèche du point au point (la flèche est parallèle à la base de l'espace produit ). En partant de tous les points on trace toutes les marches que l'on peut effectuer en se deplaçant vers le haut dans chaque fibre ou dans le sens des flèches entre les fibres. Un instantané (à temps ) de l'évolution sera donné par la section des points qui sont visités par les marches. La figure ci-dessous est un exemple pour le cas et .
   unit=0.5mm (140,100) (0.5mm,0.5mm) [linewidth=3pt](10,20)(110,20) [linewidth=3pt](10,90)(110,90) (20,20)(20,100) (40,20)(40,100) (60,20)(60,100) (80,20)(80,100) (100,20)(100,100) ->(40,30)(20,30) ->(20,80)(40,80) ->(60,50)(40,50) ->(60,40)(80,40) ->(60,60)(80,60) ->(80,30)(100,30) ->(80,70)(100,70) (120,90) (120,20) (20,10) (40,10) (60,10) (80,10) (100,10)

   On a alors mais .

   Montrer que le processus ainsi défini vérifie les règles R.1 et R.2.

2. Pour le cas particulier , on définit le temps aléatoire .
   • Montrer que .
   • Utiliser la propriété d'indépendance des accroissements du processus poissonien, la loi de grands nombres et se servir de la géométrie particulière uni-dimensionnelle du problème pour montrer que .
   • Quelle est alors la vitesse de croissance du processus?
3. Si , contrairement au cas précédent, il n'y a pas de chemin unique pour aller (en s'éloignant de l'origine) d'un site à son voisin. Notons par les points au temps qui sont accessibles par un processus qui suit les mêmes règles de croissance que mais démarre du point au temps et introduisons un deuxième temps aléatoire . (Remarquer que ).
   • Montrer que .
   • En conclure que .
   • Montrer que la variable aléatoire est indépendante de .
   • Monter que la variable aléatoire a la même loi que .
   • Soit un fixé. On note par pour . Utiliser la sous-additivité de pour montrer que la existe.
4. Programmer de manière efficace le processus de croissance pour et pour .
5. Estimer le comportement asymptotique de .
6. Si est un espace métrique complet, on dénote par l'espace dont les éléments sont les parties compactes non-vides de . Pour tout et tout , on dénote par
   
   
   
   et par
   
   
   
   Montrer que est une distance sur (appelée distance de Hausdorff)^D.1.
7. Pour toute partie finie , on dénote par
   
   
   
   où est la distance sur , la frontière de l'ensemble . Il a été conjecturé [DURRETT] que la frontière du porecessus admet comme forme asymptotique une sphère. Donner un sens mathématique précis à cette affirmation en se servant de la distance de Hausdorff.
8. Simuler le processus de croissance à et examiner si la forme asymptotique de sa frontière est compatible avec la conejcture de Durrett.