Le temps exponentiel d'auto-corrélation

Soit une observable ( ). On définit la fonction d'autocovariance

Mais, puisque la chaîne de Markov converge à sa probabilité d'équilibre, la fonction d'autocovariance peut aussi être exprimée en termes des moyennes ergodiques

Si est un opérateur borné sur un espace de Banach, alors, par sous-multiplicativité de , la existe et est égale au rayon spectral (l'égalité avec est obtenue par la condition de convergence du développement de la résolvante en série entière de [#!ReeSim!#]. Comme, par ailleurs, , on a que . On définit alors le temps exponentiel d'auto-corrélation, , par .

Si est un opérateur auto-adjoint sur un espace de Hilbert, .

Notons que dans le cas d'une chaîne à espace d'états, , fini, le temps exponentiel d'autocorrélation est nécessairement fini. En effet, en vertu du théorème , le rayon spectral est strictement inférieur à 1. Notons aussi que si la chaîne vérifie la condition de bilan détaillé, l'opérateur est auto-adjoint et son spectre est contenu dans l'intervalle .

La fonction de corrélation normalisée est définie par

Le temps exponentiel d'auto-corrélation est donné par

On peut donc définir un temps d'auto-corrélation pour chaque observable

et . Le paramètre détermine le temps de décorrélation de l'observable tandis que correspond au mode le plus lent. Comme on va le voir dans le théorème , détermine la vitesse de convergence vers l'équilibre. Il représente physiquement le temps qu'il faut attendre pour que la chaîne s'équilibre. La connaissance de permet de décider combien d'itérations Monte Carlo faut-il négliger au début de la simulation pour être approximativement à l'équilibre.

On a

Or, , d'où . Alors, . La seconde inégalité est vraie asymptotiquement et découle du lemme et de la définition de .

Les deux matrices admettent la même probabilité stationnaire. Cependant, les valeurs propres de sont et . Donc . Ceci entraîne que et l'équilibre est immédiatement atteint pour .

Par contre, les valeurs propres de sont et . Donc, et