Suites déterministes, systèmes dynamiques et nombres au hasard

On a ouvert ce chapitre avec quelques réflexions sur la nature logique de la notion d'une suite aléatoire. Après avoir vu les différentes méthodes de génération de telles suites on reste troublé. Il serait donc sain, avant de clore ce chapitre et d'entamer le suivant sur les épreuves statistiques des nombres au hasard, de se poser de nouveau quelques questions fondamentales sur la nature de l'« aléatoire ».

La notion de l'aléatoire inclut intuitivement une notion d'imprévisibilité, d'impossibilité de prédire sa valeur avant d'effectuer l'expérience de mesure. Or on produit de nombres pseudo-aléatoires en se servant de procédures purement déterministes. On connaît plusieurs phénomènes physiques qui quoique régis par des équations déterministes présentent de telles imprédictibilités; le cas le plus parlant étant celui de la météorologie. L'atmosphère est un système décrit par les équations des fluides qui sont des équations aux dérivées partielles non-linéaires mais il se comporte comme un système que l'on caractérise de complexe ou chaotique. D'autres systèmes, connus sous le nom de systèmes dynamiques présentent de caractéristiques analogues, à savoir

• ils dépendent de manière sensitive aux conditions initiales, leurs trajectoires émanant de deux conditions initiales très « proches » se mettent à diverger de manière exponentielle avec le temps (divergence régie par les exposants de Lyapunov ).
• ils produisent de l'information en possédant une entropie ou complexité de Kolmogorov non-nulles.
• les trajectoires se concentrent asymptotiquement sur des sous-ensembles de l'espace de phases, les attracteurs, ayant une dimension de Hausdorff non-triviale.

Ces notions vont être précisées par la suite en suivant [#!LasMac!#] et [#!EckRue!#].