Analyse spectrale et détection de sous-périodes

L'analyse spectrale d'un générateur donné, vu comme l'échantillonnage d'un signal, est une épreuve empirique sur la suite des variables aléatoires générées qui permet de déceler la présence de sous-périodes [#!AzeMetPri!#]. Elle fait intervenir plusieurs notions empruntées à la théorie du signal brièvement rappelées dans la suite.

Dans le contexte qui nous intéresse, un signal sera un processus stochastique , indexé par un temps continu , défini sur un espace de probabilité . Il est impossible d'observer le processus à tous les temps (i.e. il est impossible de déterminer complètement la fonction pour chaque réalisation du hasard). Le plus souvent, on échantillonne selon une suite discrète de temps et on note les valeurs (aléatoires) du signal aux temps . Si et , les observations successives constituent une suite chronologique. Dans la littérature, ces suites sont abusivement appelées séries chronologiques.

Une première épreuve spectrale que l'on peut donc effectuer sur la suite des variables aléatoires produites par un générateur pseudo-aléatoire est la stationnarité, au sens précédent, où la fonction d'auto-covariance sera estimée à partir de l'échantillon.

Dans la suite on se limite au cas des suites chronologiques à des dates régulières . Le -uplet peut être vu comme un vecteur de l'espace -dimensionnel complexe de . En munissant du produit scalaire

il devient un espace de Hilbert. On définit une famille , des vecteurs de par

où

et . L'ensemble est celui des fréquences de Fourier.

Il suffit de vérifier que .

Pour tout vecteur , on a la décomposition

avec . Les coefficients définissent la transformée de Fourier discrète du signal .

On conclut que la norme de chaque vecteur peut s'écrire comme

Cette écriture suggère l'appellation analyse de la variance étant donné que si est un signal gaussien sa norme coïncide justement avec sa variance et la formule précédente fournit une décomposition de la variance sur les fréquences de Fourier.

Il est utile d'étendre le domaine de définition du périodogramme sur tout l'ensemble  ; on définit ainsi une fonction constante par morceaux qui coïncide avec le périodogramme sur les fréquences de Fourier. Sur , la fonction est étendue par où est le multiple de qui se trouve le plus proche de i.e. si alors . Sur l'intervalle , la fonction est étendue par symétrie .

L'utilisation que l'on va faire du périodogramme nous permettra de confronter l'hypothèse que la suite chronologique ne possède pas de sous-suite de période inférieure à contre l'hypothèse qu'elle en possède. On doit suspecter la présence d'une sous-période si la valeur du périodogramme est ``anormalement'' élevée pour certaines fréquences de Fourier. Pour ceci on doit avoir plus de renseignements sur la distribution du périodogramme.

Voir proposition 10.3.2 dans [#!BroDav!#].

Le périodogramme est particulièrement bien adapté aux signaux gaussiens puisque dans ce cas et ses valeurs sur des fréquences de Fourier différentes sont décorrélées. Dans ce cas précis, l'épreuve pour la détection d'une sous-période s'effectue de la manière suivante : les sont asymptotiquement indépendantes et distribuées selon une loi exponentielle

Donc, si l'on fixe une probabilité de confiance , on peut, asymptotiquement, estimer le niveau de confiance correspondant par

où . En résolvant cette expression pour on obtient , ce qui permet de déterminer à partir de quel niveau peut-on considérer que la valeur du périodogramme est anormalement élevée pour chaque probabilité de confiance.

Dans les figures suivantes sont présentés un signal périodique perturbé par un bruit gaussien et son périodogramme.

Figure: Exemple d'un signal et de son périodogramme