Systèmes dynamiques, transformations et théorèmes ergodiques

On s'intéresse aux itérées successive de en partant d'un point , , ,.... La donnée est appelée orbite du système émanant de .

Pour mieux étudier les propriétés stochastiques de la trajectoire, on fixe un entier , on partitionne et on génère l'histogramme de fréquence de visite pour chaque sous-intervalle lors des premières itérations de la transformation

On s'attend à la convergence de vers , où est une certaine fonction densité. Pour déterminer cette fonction densité il s'avère plus simple de considérer non pas une orbite mais un ensemble d'orbites émanant des points différents distribués selon une densité. Soit donc une variable aléatoire à valeurs dans telle que où est une certaine fonction densité sur . On examine l'orbite aléatoire où , pour . On a alors

De cette équation on conclut

On s'intéresse aux densités limites de l'itération; elles sont des points fixes de l'opérateur de Perron et Frobenius. La convergence vers la densité limite siginifie que quelque que soit la densité initiale, la trajectoire charge asymptotiquement l'espace selon une densité indépendante de la condition initiale. On peut même imaginer des densités initiales arbitrairement concentrées sur des points génériques (« presque de masses de Dirac ») et obtenir des densités asymptotiques diffuses. On a un oubli de la condition initiale pour ces systèmes déterministes qui les rapproche du comportement stochastique des processus markoviens. En effet, on peut définir

Il est alors facile de montrer que l'opérateur de Perron et Frobenius est un opérateur de Markov, cas particulier d'une chaîne de Markov dite déterministe . Par ailleurs, toute application intégrable est en bijection, par le théorème de Radon et Nikodým, avec une mesure absolument continue par rapport à la mesure ( pour tout tel que ). L'opérateur de Perron et Frobenius agit par conséquent (à gauche) sur les mesures par .

L'espace des fonctions intégrables étant dual à l'espace de fonctions bornées , on peut définir l'action de la transformation sur ce dernier espace par dualité.

Notant le produit scalaire de la dualité, on calcule pour , et , les produits scalaires et . On a

L'étude des propriétés probabilistes d'un système dynamique se fait aisement à travers ses ensembles invariants.

On distingue trois niveaux de comportement de plus en plus « aléatoire ».

La signification de cette définition est quelque peu clarifiée par le résultat suivant.

Ce résultat nous dit qu'une fonction constante sur les trajectoires et constante partout. Autrement dit, les trajectoires sont tellement recroquevillées sur l'espace qu'elles le remplissent. Ce résultat est complété par les deux théorèmes suivants

Ce dernier théorème garantit donc que les espérances peuvent être estimées par des moyennes ergodiques.

Finalement, le résultat suivant montre une graduation dans les convergences pour les suites ergodiques, mélangeantes et exactes.