Corrélations

Soit une chaîne de Markov sur l'espace (dénombrable), irréductible, avec matrice de transition et probabilité stationnaire .

Par définition, la mesure n'est pas identiquement nulle ; il existe donc un état pour lequel . Par ailleurs, l'irréductibilité de la chaîne impose que pour tout , il existe un tel que . Finalement, par la sous-invariance, on a

Soit et . On note

la norme de et par l'espace de Banach

En particulier, est un espace de Hilbert avec produit scalaire

L'indice sera omis quand il s'agit de la norme ( ). Dans chaque on définit un opérateur de Perron et Frobenius, , par

où est la matrice de transition de la chaîne.

Si alors l'affirmation est correcte. Soit maintenant un tel que . Alors, par hypothèse, et pour tout

On écrit

Donc, . Mais, le lemme () garantit que pour tout . Il s'ensuit que .

Soit la fonction constante . Alors, pour tout . Posons . Alors et . Pour la partie positive de , on a , ce qui montre que . On vérifie alors aisément que et le lemme précédent garantit que . Donc soit , soit pour tout . Ceci équivaut à dire que soit , soit pour tout . En choisissant le paramètre arbitraire , on voit que est soit strictement positive, soit négative. Si est positif, elle ne peut être qu'une constante étant donné que est arbitraire. Si , on répète l'argument avec la fonction .

1. Écrivons
   
   
   
   Or . Donc, en se servant de l'inégalité de Jensen pour majorer
   
   
   
   on obtient
   
   
   
   
   
   
   Par conséquent, .
2. Il est clair que 1 est valeur propre. On va montrer qu'elle est la seule dont le module soit égal à 1. Soit tel que avec . Ceci implique que . Donc, en vertu du lemme et donc , où est une constante, en vertu du lemme . Par applications successives de l'opérateur , on obtient pour tout ou .

   Donc,
   

   
   
   et par l'inégalité de Schwartz
   
   
   
   Donc . Mais l'inégalité de Schwartz devient une égalité si est une constante. Dans le cas présent, ceci signifie qu'il existe des constantes , telles que
   
   
   
   D'où
   
   
   
   c'est-à-dire
   
   
   
   Or, la chaîne est irréducitble et apériodique ; il existe donc un entier tel que pour tout . En particulier, il existe un tel que et . Donc, d'où .

On introduit un autre opérateur de projection sur  :

Il est facile de voir que est idempotent et commute avec .