Où la soustraction n'est qu'une addition déguisée

La représentation binaire par complémentation des négatifs est utilisée pour représenter les nombres et faire des opérations en informatique. Pour expliquer comment la complémentation des négatifs se fait, il n'est pas nécessaire de restreindre à la base 2.

Soit un entier positif qui s'écrit, en base , comme

On appelle complément à d'un digit , un digit tel que

et complément à du nombre , le nombre qui s'écrit

On a alors,

ou

Si on veut faire la soustraction de deux entiers , on écrit

Le nombre est, en base , un chiffre à digits tous égaux à .

Pour exécuter l'opération de la soustraction, on distingue deux cas :

Dans ce cas,  ; il ne sera pas représentable en digits mais il y aura un dépassement de 1 en -ème position. Pour obtenir le résultat correct, il faudra donc ajouter la retenue de 1 en position 1. Si on veut garder trace du signe à la fois des opérandes et et du résultat de la soustraction , on fait la convention de représenter les entiers sur digits et le digit du plus fort poids (-ème position) sera 0 si le nombre est positif et si le nombre est négatif.

Ce cas est plus simple parce qu'alors il n'y a pas de dépassement ; il suffit pour traiter ce cas de faire le complément à et à effectuer l'addition.

On procède comme suit :

On trouve donc bien un résultat positif (le digit en position est 0) égal à 515.

On a et . On procède alors comme suit :

On trouve donc un résultat négatif (le digit de plus fort poids de et ), de valeur absolue .

Ce même principe est utilisé par les ordinateurs (avec et des mots de bits) pour représenter les entiers et effectuer les soustractions. Le nombre de bits par mot dépend du constructeur. Ainsi, sur les micro-ordinateurs du type PC, , sur la plupart des ordinateurs (DEC, IBM, SUN) , sur le CDC et enfin sur la famille des CRAY . Pour pouvoir travailler avec des entiers plus grands que en valeur absolue, les constructeurs de micro-ordinateurs permettent d'utiliser des entiers longs en codant chaque entier sur deux mots mais la perte d'efficacité calculatoire est importante.

Pour représenter les réels (à virgule flottante), les constructeurs séparent le mot de bits en trois parties sous la forme

unit=5mm (16,3) (5mm,5mm) (1,1)(15,2) -(2,1)(2,2) -(10,1)(10,2) (1.5,1.5)sig (6,1.6)manmantisse (12.5,1.5)expoexposant

Les opérations d'addition et de soustraction se font en égalisant les exposants des deux opérandes et en ajoutant le nombre de zéros nécessaires à la mantisse du plus petit opérande.