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L'hamiltonien de réseau neuronal

Il est bien connu en Physique que l'hamiltonien (énergie) est le générateur du semi-groupe des translations temporelles11.3.

On considère alors les strates successives du réseau de McCulloch et Pitts comme des instantanées selon une dynamique temporelle discrète d'une couche unique à sites. Il est donc naturel de chercher la fonctionnelle qui joue le rôle de l'énergie. Un principe fondamental de la Physique est le principe de la conservation de l'énergie : le bilan énergétique total d'un système physique isolé est nul. Or un réseau neuronal ne peut pas être un système conservatif puisqu'il produit de l'information (abaisse son entropie) ce qui peut être fait uniquement au détriment de son énergie. Par conséquent, si est la fonction énergie du système, elle ne peut que décroître sous l'évolution dynamique11.4.

On ne va pas exposer ici le cheminement logique qui permet de trouver la forme explicite de l'hamiltonien (fonction de Lyapunov) du système. On se contente de constater qu'une fonctionnelle, dont la forme est postulée, a les propriétés voulues.





On a en effet




Si maintenant, on introduit la dépendance dynamique du potentiel post-synaptique, on peut exprimer l'hamiltonien sous la forme


On retrouve une forme bilinéaire dans la configuration qui peut s'écrire comme une somme des potentiels d'interaction à deux corps à portée infinie du type Ising.


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Dimitri Petritis 2003-07-03