Épreuve de Kolmogorov et Smirnov

Comme l'épreuve du , l'épreuve de Kolmogorov et Smirnov (KS) compare une distribution théorique avec une distribution empirique [BOULEAU 1986]. Pour illustrer la méthode, on considère de nouveau une famille de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon la même loi (i.e. ) et la répartition empirique

qui est évidemment une variable aléatoire à valeurs discrètes .

Il suffit de considérer pour un fixé, la famille des variables aléatoires , prenant les valeurs 0 ou 1, avec .

À l'aide de ce lemme on calcule et et ceci montre que est un bon estimateur de dont la variance s'annule asymptotiquement. Le lemme de Glivenko et Cantelli (voir [#!ShoWel!#] par exemple) nous garantit que pour tout ,

Par conséquent, quand , la différence tend vers 0 pour tout . Notons la variable aléatoire

Il est bon de remarquer que la variable aléatoire est intimement liée à la notion décart, introduite précedemment.

On a le théorème de Kolmogorov et Smirnov

On note que la loi asymptotique de la variable aléatoire est indépendante de  !

La loi est tabulée et la table donne un extrait de cette tabulation.

Table: Distribution de extraite du livre [#!ShoWel!#].

x		x
0,30	0,000009	1,30	0,931908
0,40	0,002808	1,40	0,960318
0,50	0,036055	1,50	0,977782
0,60	0,135718	1,60	0,988048
0,70	0,288765	1,70	0,993823
0,80	0,455857	1,80	0,996932
0,90	0,607270	1,90	0,998536
1,00	0,730000	2,00	0,999329
1,10	0,822282	2,10	0,999705
1,20	0,887750	2,20	0,999874