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Simulations dynamiques
On a étudié, au chapitre précédent, des méthodes
qui permettent de construire un
modèle comme un champ de Markov sur un graphe décrit par une
certaine probabilité
. Dans ce chapitre on va construire des algorithmes qui nous
permettront
d'engendrer des chaînes de Markov sur l'espace de champs de Markov, , qui
convergent à la probabilité .
Le problème de la construction de l'algorithme peut être posé de deux
manières différentes :
- La forme fonctionnelle que doit avoir la probabilité sur
est connue ; on cherche alors à construire une chaîne de Markov sur
dont la matrice de transition admet comme vecteur propre gauche à
valeur propre 1. Dans ce cas, l'algorithme décrit une dynamique (qui peut
être fictive) sur l'espace et on exige qu'elle aboutisse le plus
efficacement possible à .
- On connaît les détails de la dynamique locale. On construit alors la
matrice des transitions correspondante, , et l'on cherche la probabilité
qui stabilise la chaîne. Dans ce cas, la dynamique sur l'espace
est réelle et l'inconnue est l'état d'équilibre correspondant.
Dans les deux exemples précédents, l'espace est très petit et tous les
calculs peuvent être explicitement effectués. Dans des cas plus réalistes,
est de l'ordre de et il est donc exclu d'effectuer les calculs
à la main. On va donc introduire un algorithme systématique qui
permettra de construire une chaîne de Markov avec les propriétés voulues
sur un espace arbitraire .
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Dimitri Petritis
2003-07-03