Le bruit blanc

Dans plusieurs applications pratiques, on a besoin de considérer des processus stochastiques stationnaires d'espérance nulle et tels que et soient indépendants si . En écrivant

on exige formellement que la covariance vérifie si . Il est facile de se convaincre que si est une fonction, il n'est pas possible de construire de processus non-trivial satisfaisant la condition d'indépendance. Il en va autrement si l'on élargit la classe des processus pour inclure des processus à valeurs distributions [#!Arn!#,#!Wal!#]. Dans ce cas, la covariance du processus cherché est une masse de Dirac . Le terme ``bruit blanc'' vient du fait que la transformée de Fourier de est une constante pour tout . Ceci est interprété physiquement comme la présence d'un spectre de Fourier où toutes les composantes spectrales contribuent de la même manière tout comme le spectre de la lumière blanche contient toutes les composantes spectrales de la lumière visible dans la même proportion.

La simplicité apparente de la définition précédente ne doit pas cacher une difficulté essentielle à définir des processus généralisés : les ensembles exceptionnels (de mesure nulle) sur lesquels les conditions de linéarité ou de continuité ne soient pas vérifiées dépendent des constantes ou des fonctions ou respectivement. L'ensemble de ces paramètres étant non-dénombrable, il n'y a pas de garantie automatique que la réunion des ensembles exceptionnels est de mesure nulle. Ce n'est qu'à cause de la structure topologique particulière de l'espace que l'on peut construire des fonctionnelles remplissant les conditions de la définition précédente (voir Vol. 4 du livre de [GEL'FAND ET AL.]).

Par conséquent, un processus généralisé gaussien est défini de manière unique par une fonctionnelle linéaire et continue telle que

appelée espérance et par une fonctionnelle bilinéaire, continue et définie positive telle que

appelée covariance.

Il est bien connu que toute fonction localement intégrable définit une distribution dans , il suffit en effet de définir pour toute fonction test . De la même manière, on peut regarder le mouvement brownien (qui est un processus ordinaire localement intégrable) comme processus généralisé gaussien. En effet, on a le

La première égalité est évidente à cause du théorème de Fubini. Pour la seconde, on a, de nouveau par Fubini :

Maintenant, cette formulation permet de définir la dérivée du mouvement brownien (qui est, on rappelle, un processus nulle part dérivable au sens habituel du terme) comme un processus généralisé ; le mouvement brownien est dérivable au sens de distributions !

On dénote formellement qui existe au sens de distributions. On a alors, en vertu des propriétés de dérivabilité des distributions de , pour toute fonction , que . Il est alors évident que la fonctionnelle espérance est identiquement nulle. Pour la fonctionnelle covariance, en dénotant par une primitive de , on a :

Le théorème précédent donne un sens précis à l'affirmation, faite au début de ce paragraphe, que la covariance du bruit blanc est une masse de Dirac. En effet, on a montré que .