Exercices

1. Soumettre une suite de nombres aléatoires, générés selon la méthode congruentielle, à l'épreuve du pour l'équi-répartition uni-dimensionnelle en sous-intervalles de . Applications : et et
   • , ou
   • , .
2. Répéter le même exercice avec de nombres générés selon la méthode congruentielle affine avec , et . Ce jeu de paramètres fut longtemps utilisé pour le générateur incorporé dans plusieurs langages sur micro-ordinateur PC.
3. En considérant deux valeurs successives comme des coordonnées cartésiennes d'un point aléatoire dans , afficher 1000 points obtenus avec les trois générateurs précedents. Que remarque-t-on ?
4. Écrire un programme qui permet de soumettre le générateur congruentiel avec et à l'épreuve des lacunes. Fixer des valeurs raisonnables pour les paramètres, par exemple, , , . Générer au moins valeurs^3.1.

5. Soient , , et quatre suites numériques obtenues par
   
   
   
   
   
   
   
   où est la partie fractionnaire, et est un irrationnel,
   
   
   
   et sont les valeurs successives du générateur unif. Étudier le comportement de pour les quatres suites en traçant le correspondant en fonction de . Application : , et . Tracer les graphes pour en intégralité et en faisant un zoom sur une petite partie, par exemple de à .
6. Pour les mêmes suites que dans l'exercice précedent, calculer la somme de Fourier
   
   
   
   où est un symbole générique pour désigner une des suites , , ou . Tracer le module de la somme en fonction de N.
7. Superposer à un signal sinusoïdale, échantilloné sur les entiers, un bruit gaussien indépendant aux instants différents. Calculer et tracer le périodogramme en fonction de la fréquence.