Le mouvement brownien

Le mouvement brownien est l'analogue continu d'une marche aléatoire.

Cette définition ne garantit pas l'existence d'un tel processus. Il est donc indispensable de construire explicitement un processus qui vérifie les propriétés de continuité et d'indépendance des accroissements exigées par la définition. Une première construction possible est la suivante : on a vu qu'une marche aléatoire partant de 0 est le processus discret et pour , les variables aléatoires étant indépendantes et identiquement distribuées d'espérance 0 et de variance finie .

À l'aide du processus discret on construit le processus continu

où est la partie entière. On peut alors montrer que la suite des processus continus

converge vers le processus . Ceci est garantit par le

Voir p. 67 de [#!KarShr!#] par exemple.

Une autre construction possible du mouvement brownien, qui s'apparente à la description trajectorielle globale pour les marches aléatoires, consiste à travailler sur l'espace des fonctions réelles équipé de la tribu engendrée par les cylindres

Si est la famille de tous les ensembles cylindriques (à fini), on note la plus petite tribu contenant . L'espace sera par la suite équipé d'une probabilité qui sera construite comme extension d'une famille cohérente de marginales à dimension finie.

Par cette méthode d'extension de Kolmogorov, la construction du mouvement brownien s'achève en vertu du

Ainsi, dans cette construction globale, l'espace joue le rôle de toutes les trajectoires possibles et imaginables et chaque réalisation du mouvement brownien n'est que le choix d'une trajectoire particulière. On peut, en outre, examiner certaines questions naturelles de régularité des trajectoires typiques du brownien. Pour ce faire on a besoin du résultat général suivant :

On peut donc montrer le résultat suivant

Il suffit d'utiliser une propriété élémentaire de variables aléatoires gaussiennes pour établir que

et de se servir du théorème précédent.

Dans la suite on appellera mouvement brownien standard une modification presque sûrement continue du mouvement brownien. Le corollaire précédent montre que presque toute trajectoire est continue mais nulle part différentiable. La figure présente une approximation d'une trajectoire typique du mouvement brownien.

Figure: Les trajectoires du mouvement brownien sont des fonctions presque sûrement continues et nulle part dérivables. La dimension de Hausdorff du graphe de ces fonctions est presque sûrement égale à deux. Par conséquent la longueur de ces trajectoires est presque sûrement infinie. Une représentation nécessiterait alors une quantité infinie d'encre. La figure ci-dessus n'est qu'une approximation régularisée de ces trajectoires.