Exercices

1. Un prisonnier sera libéré s'il est capable, à l'aide seulement d'un dé honnête, de produire une chaîne de Markov sur l'ensemble selon la loi où , , , et .
   • Proposez-lui un algorithme Monte-Carlo.
   • Les éléments de la matrice d'acceptation dépendent du choix de la fonction . Donnez un argument pour montrer que le choix est optimal dans le sens qu'il donne naissance à l'algorithme le plus efficace.
   • Pour ce choix particulier de , le plus petit nombre de fois qu'il faut jeter le dé afin d'effectuer une étape Monte Carlo est une variable aléatoire . Calculez quand l'équilibre de l'algorithme est atteint. (Remarquez que ).
   • Donnez l'expression de la matrice des transitions.
2. Programmer l'algorithme de Metropolis pour le modèle d'Ising.
3. Programmer l'algorithme de Kawasaki pour le modèle d'Ising.
4. Simuler le comportement de , pour et diverses valeurs de . Que se passe-t-il, à votre avis, dans la limite du volume infini, si la configuration de départ pour la simulation Monte Carlo est donnée par
   
   
   

5. En s'inspirant de l'algorithme de Metropolis pour le modèle d'Ising, proposer un algorithme local^8.1de Metropolis pour générer des marches aléatoires sans recoupement. Programmer cet algorithme.