Estimateurs

Toute simulation Monte Carlo directe peut se ramener à une forme canonique où l'on reconnaît les ingrédients suivants :

• Les faits observés : sont les données contenues dans l'échantillon statistique caractérisé par sa taille . On suppose que les faits sont des variables aléatoires , , indépendantes et identiquement distribuées selon la loi commune . Les espaces et dépendent évidemment du problème.
• Les paramètres à estimer : sont des paramètres caractérisant la loi commune (par exemple ses moments). Ces paramètres sont appelés collectivement et prennent leurs valeurs dans un espace de paramètres qui évidemment dépend du problème.
• L'estimateur : est une fonction qui doit être « proche » de . La « proximité » de l'estimateur est caractérisée par son biais et par sa dispersion .

Une simulation où le calcul se fait directement sur les faits observés s'appelle simple.

Un estimateur avec et est appelé fidèle, tandis qu'un estimateur avec et est appelé asymptotiquement fidèle. Etant donné que l'on travaille toujours avec des échantillons finis, un estimateur est d'autant meilleur que son biais est petit et la vitesse d'annulation de sa variance avec est grande. Le problème abstrait de trouver le meilleur estimateur des paramètres n'a pas de solution générale. On verra dans les applications comment choisir de bons estimateurs en se limitant à des sous-classes comme, par exemple, des estimateurs linéaires.

Les paramètres sont déterministes. Leurs estimateurs sont des variables aléatoires et dépendent de la réalisation explicite de l'échantillon statistique.