Les trois ``ensembles'' statistiques selon Gibbs

On rappelle dans la suite, dans le cas particulier d'un système gazeux, les trois descriptions statistiques selon Gibbs. Soit le nombre de particules de gaz dans un ensemble fini tel que . Les positions des particules sont alors représentées par les coordonnées d'un vecteur à composantes et les moments cinétiques par un vecteur . L'espace de tous les positions et moments est appelé espace de phases . Un point sera une configuration particulière du système complet et l'évolution temporelle du système est régie par les équations du mouvement (équations de Hamilton-Jacobi) par l'intermédiaire d'une fonction hamiltonienne

pour . La trajectoire temporelle du système est, en principe, complètement déterminée par la condition initiale puisque l'évolution est régie par un système différentiel du premier ordre. Or, dans les cas réalistes, est énorme, de l'ordre de  ; il est donc impensable de pouvoir déterminer la condition initiale (à coordonnées) de manière précise. Par ailleurs, une description aussi précise que celle fournie par est inutile et inexploitable puisqu'on s'intéresse uniquement à quelques quantités macroscopiques du système, telles que la température, la pression, la chaleur spécifique etc.

C'est à ce niveau qu'intervint l'idée originale de Gibbs que l'on peut formuler de nos jours sous la forme suivante : étant donné que toute fonction thermodynamique est une fonction , tout ce dont on a besoin de calculer pour connaître son comportement macroscopique est une moyenne pondérée, la pondération devant être plus forte pour les configurations qui sont plus probables. Pour pouvoir faire des calculs thermodynamiques sur l'espace de phases, il faut donc munir l'espace de phases d'une mesure. Une première mesure naturelle est la mesure de Liouville qui n'est d'autre que la mesure de Lebesgue à dimensions convenablement normalisée, à savoir

Gibbs a introduit trois nouvelles mesures particulières , et sur l'espace de phase qu'il a appelées respectivement -- dans sa terminologie -- ``ensembles'' microcanonique, canonique et grand-canonique.