Autres épreuves possibles

Plusieurs autres épreuves peuvent être effectuées sur les suites aléatoires. Toutes sont basées sur le principe qu'une distance ad hoc soit introduite sur l'ensemble des mesures de probabilité qui sert à comparer une quantité empirique avec une quantité théorique.

Au lieu de donner une liste exhaustive des épreuves statistiques possibles et imaginables sur les variables aléatoires générées par diverses méthodes, on préfère donner une liste de principales distances que l'on peut définir en probabilité et statistique. Ces distances, en métrisant les espaces de variables aléatoires, permettent de donner un sens précis à la notion de proximité entre une variable aléatoire théorique et une empirique. Ainsi, le lecteur peut imaginer des nouvelles épreuves qui permettent de juger de la qualité des générateurs. Un traité complet sur la métrisation des espaces de probabilité est le livre de [#!Rac!#].

On distingue deux types de (semi)-distances sur les ensembles des variables aléatoires :

1. Les distances simples :  qui permettent de métriser la notion de convergence en loi :
   • La distance uniforme (de Kolmogorov) définie sur l'espace de toutes les variables aléatoires réelles par
     
     
     
     où est la fonction de répartition de la variable aléatoire . On reconnaît immédiatement la distance utilisée pour l'épreuve de Kolmogorov et Smirnov.
   • La distance de Lévy définie par
     
     
     

   • Les distances de Kantorovich, définies pour des variables aléatoires réelles et par
     
     
     
     On remarque que .
   Toutes ces distances s'annulent si les fonctions de répartition coïncident.
2. Les distances composées :  qui permettent de métriser la convergence en probabilité, comme
   • Les distances de Ky Fan définies par
     
     
     
     et
     
     
     

   • Les distances  :  définies pour par
     
     
     

   Ces distances vérifient si et seulement si .