L'espace des configurations

On a vu que l'ensemble des entiers positifs qui servait d'index temporel va être remplacé par un graphe simple non-orienté arbitraire (i.e. un ensemble dénombrable de sommets (sites, vertex) et un ensemble d'arêtes vu comme un sous-ensemble de où les couples et sont identifiés). La notion de graphe peut être formalisée^7.1 comme dans la

Étant donné que le graphe peut être défini indifféremment à l'aide de ou de l'application , les deux notations et seront utilisées sans distinction dans la suite.

Le second ingrédient nécessaire à la construction de l'espace des configurations est l'espace des états à un site qui est simplement un espace mesuré . Pour éviter des complications mathématiques qui nous feraient sortir du cadre de ce cours, on se limitera au cas où est compact ; ceci n'est pas fondamentalement restrictif, puisque dans les applications numériques qui vont nous intéresser sera discret et fini.

Il est à noter que seulement la partie « sommets » du graphe entre dans la définition de l'espace des configurations.

Si est un site donné, la projection est définie comme étant l'application telle que . De manière naturelle, on notera, pour tout fini, par que l'on identifiera avec la restriction de la configuration sur le volume fini . L'ensemble des configurations sera noté . Dans le cas où n'est pas fini, un rôle particulier est joué par la famille des parties finies de , noté par . Finalement, la tribu rend mesurables toutes les restrictions de configurations.

Notre but final sera de donner à l'espace des configurations une structure probabiliste assez riche qui va nous permettre de décrire des phénomènes intéressants tels que la description d'une image numérisée, l'aimantation spontanée d'un aimant, l'état d'infection d'une population lors d'une épidémie, etc.