Épreuve du ``poker''

À partir de la suite initiale , on construit la suite d'entiers , pour , avec un entier positif et représentant la partie entière. De manière évidente, . Dans l'épreuve classique du poker, on fixe et et l'on observe les quintuplets successifs qui peuvent appartenir à une des 7 classes suivantes : tous différents , une paire , deux paires , trois identiques , trois identiques et une paire , quatre identiques et finalement tous identiques . L'accord des fréquences empiriques avec les probabilités théoriques de chaque classe est examiné à l'aide de la distribution du .

Une épreuve similaire consiste à examiner les -uplets et à classer les successifs selon le critère suivant : chaque prend les valeurs  ; on dit que le -uplet appartient à la classe , pour si parmi les valeurs il y a valeurs différentes. On compare alors les fréquences empiriques de chaque classe avec les probabilités théoriques

où sont les nombres de Stirling de second espèce.

Les nombres de Stirling de second espèce sont définis comme le cardinal des partitions possibles de l'ensemble en classes non-vides. Par exemple, puisque les partitions de en 2 classes sont : , , , , , , . Dans le cas général, il est facile d'établir la relation de récurrence

avec , si et si ou ou . En effet, on distingue deux catégories pour les partitions de en classes. La première catégorie contient les partitions où constitue une classe à lui tout seul et la deuxième catégorie les autres. En omettant des partitions de la première catégorie on obtient exactement les partitions de en classes et en omettant de la seconde catégorie, on obtient les partitions de en classes où chaque classe se répète fois. En définissant la fonction génératrice , on trouve la formule fermée

pour d'où, en inversant, on obtient

(voir [#!Wil!#]).