Une image, projection bi-dimensionnelle d'une réalité tri-dimensionnelle, peut être appréhendée de plusieurs manières. La manière la plus utile pour l'informatique ou les télécommunications est le codage numérique. Une image numérisée est codée sur les éléments d'images (pixels) d'un écran virtuel. En d'autres termes, une image n'est que la donnée du niveau de gris ou de la couleur sur chaque élément d'image. L'écran virtuel est une matrice qui représente les points distingables à la résolution où l'on travaille. Ainsi, l'image sur un moniteur de micro-ordinateur a une résolution de l'ordre de pixels, un moniteur graphique pour la CAO peut avoir une résolution de pixels, les images d'observation de satellites civils sont habituellement codées sur pixels. Ainsi, dans la description gibbsienne, les sites vont être associés aux pixels et une configuration sera une image numérisée [#!GemGem!#,#!___!#]
Pour l'analyse dans une échelle de résolution donnée, les pixels sont un ensemble fini. L'ensemble d'états à un site sera l'état de la luminance (niveau de gris) du pixel correspondant. On peut par exemple choisir pour un codage sur un écran du type VGA de micro-ordinateur. Une image sera alors une configuration .
La structure du graphe sous-jacent est définie par les arêtes
et la fonction d'incidence est, comme d'habitude, donnée par
La forme exacte des potentiels d'interaction dépend de la classe d'images que l'on doit coder ; si la forme fonctionnelle de ceux-là est spécifique au problème, on peut par contre dégager une régularité concernant la portée de l'interaction. Pour presque toutes les images il suffit, en effet, de considérer des potentiels qui s'annulent, , dès que . Ainsi, les seuls groupements de pixels qui interviennent dans la définition du potentiel sont donnés en figure ci-dessous.
Les parties de
Les potentiels d'interaction permettent de définir un hamiltonien.
Un des problèmes traditionnellement formulé dans le formalisme gibbsien est
celui de la restauration d'images
numérisées bruitées. On entend par là que
l'image stockée est une image déformée de l'image initiale par l'adjonction
de bruit. Supposons en effet que l'on observe par satellite une portion du
globe terrestre et désignons par l'image idéale qui représente la
réalité. Comme l'observation se fait à distance, l'interposition de
l'atmosphère avec ses turbulences perturbe l'image et ce que l'on
observe finalement est une caricature bruitée de la réalité. Le but de
la restauration est de considérer comme image « réelle » l'image
qui maximise la probabilité conditionnelle