Équations différentielles stochastiques

Les mécanismes fondamentaux qui régissent le comportement de plusieurs systèmes mécaniques, physiques, météorologiques, macro-économiques, financiers, écologiques, sociaux etc, sont bien décrits par des équations différentielles. Or ces systèmes intragissent avec un environnement complexe et imprévisible. Par exemple, une plateforme pétrolière subit les effets de la houle et du vent, le prix d'un actif financier subit les effets des taux d'intérêts et de l'activité globale de l'économie, etc. Dans tous ces cas, l'environnement, s'il a une régularité statistique, il est fondamentalement chaotique ; il agit comme un bruit à l'évolution déterministe de systèmes considérés.

On suppose donc que sur un espace filtré adéquat est défini un processus stochastique (en général vectoriel) , décrivant l'environnement. Si, est le processus (vectoriel) décrivant l'état du système, on doit étudier l'équation d'évolution temporelle

avec condition initiale où est une fonction aléatoire. On peut se limiter au cas des équations vectorielles du prémier ordre.

Comme c'est le cas pour les équations différentielles déterministes, on peut difficilement obtenir des résultats intéressants sous cette forme générale de l'équation différentielle. C'est en étudiant des cas particuliers d'équations que l'on peut obtenir des résultats sur l'existence et la nature des solutions. Cependant, dans le cas présent, il faut tenir compte d'une difficulté supplémentaire introduite par la présence de l'aléa. On a vu au chapitre précédent que certains processus stochastiques, comme le bruit blanc, ont un comportement très singulier puisqu'ils n'existent qu'au sens de distributions.

On appelle équations différentielles stochastiques régulières les équations différentielles stochastiques où les processus décrivant l'environnement sont réguliers (sont des fonctions). Leur étude est très similaire au cas des équations différentielles déterministes. La situation se complique lorsque le processus décrivant l'environnement devient un processus généralisé. Dans ce dernier cas, la solution de l'équations différentielles stochastiques, si elle existe, est une distribution. En outre, la condition initiale ne suffit pas pour déterminer la solution ; il faut donner un sens à l'intégrale stochastique. On parle alors l'équation différentielle stochastique singulière au sens de Itô ou de Stratonovich. Selon l'endroit où l'aléa apparaît dans l'équation, on peut classer les équations différentielles stochastiques en équations avec des conditions initiales aléatoires, équations avec partie inhomogène aléatoire ou équations avec coefficients aléatoires.