Simulation Monte Carlo d'une intégrale stochastique

Le problème pratique que l'on doit résoudre est de déterminer la loi de la variable aléatoire

Ce problème peut s'avérer très dur en l'absence de toute autre information sur la loi de . Il est plus aisé, et la plupart de temps suffisant en pratique, d'estimer pour certaines classes de fonctions .

Les algorithmes Monte Carlo existants, sont fondamentalement des méthodes Monte Carlo directes pour calculer . Or, l'intégrale stochastique comporte deux étapes de calcul qui peuvent être distinguées. La première étape consiste à simuler les trajectoires du processus sur lesquelles on intègre et la seconde étape à calculer l'intégrale -- ou une approximation de l'intégrale -- selon ces trajectoires. Il est à signaler que le calcul de l'intégrale proprement dite est fait selon une méthode déterministe, l'aléa de la méthode n'intervient que pour la simulation du processus le long duquel on intègre. Ceci parce que l'intégrale stochastique est essentiellement uni-dimensionnelle et on a vu au début de ce cours que les méthodes d'analyse numérique standard pour le calcul des intégrales uni-dimensionnelles sont beaucoup plus compétitives de point de vue efficacité algorithmique que les méthodes Monte Carlo.

Dans la suite, on donne un algorithme pour l'estimation de dans le cas particulier où est une fonction Lipshitzienne d'ordre au moins 2, i.e. il existe une constante positive telle que avec .

On dénote par l'approximation de l'intégrale qui correspond au schéma de discrétisation choisi. On a alors

A cause de la condition Lipschitz sur la fonction , on borne la première valeur absolue par qui est bornée justement par à cause de la convergence en moyenne quadratique de l'intégrale stochastique. La deuxième valeur absolue est bornée par en vertu de la loi de la limite centrale.

On constate que l'erreur numérique provient de deux sources distinctes. La première erreur provient de l'approximation de l'intégrale par une somme de Riemann-Stieltjes et elle est de l'ordre . La deuxième source d'erreur est de nature statistique et elle est gouvernée par le théorème de la limite centrale. Elle peut être améliorée si on augmente le nombre de simulations. Cependant, augmenter le nombre sans améliorer l'erreur d'ordre due à l'intégration ne présente aucun intérêt pratique. Introduire de nouveaux schémas de discrétisation avec des erreurs numériques d'ordre est un domaine de recherche active dans le domaine de l'intégration stochastique mais qui nous fait sortir du cadre de ce cours. Le lecteur intéressé par le développement de méthodes d'approximations en peut consulter les livres de [KLOEDEN ET AL., SOBCZYK] ou l'article de [TALAY].