Approximation de Riemann-Stieltjes de l'intégrale stochastique

L'intégrale stochastique se présente comme une intégrale curviligne suivant la trajectoire brownienne [ARNOLD, ØKSENDAL]. Si la courbe sur laquelle on intègre était dérivable par morceaux, il existerait une définition élémentaire de l'intégrale curviligne comme limite des sommes de Riemann-Stieltjes. La situation se complique cependant si la courbe est nulle part différantiable comme c'est le cas avec les trajectoires browniennes.

Essayons une approximation de l'intégrale stochastique par des sommes de Riemann-Stieltjes : pour ce faire, introduisons une partition de l'intervalle définie par les points et choisissons un schéma d'interpolation c'est-à-dire une famille de points pour tout . Une partition est dite régulière si

La somme de Riemann-Stieltjes pour la partition est donnée par

où . Cette somme dépend évidemment de la fonction mais aussi de la partition et du schéma d'interpolation. Si , pour tout schéma d'interpolation, on a

la limite étant prise sur toutes les partitions régulières. On constate que l'intégrale stochastique coïncide avec la définition habituelle d'une intégrale curviligne selon une courbe différentiable et avec la somme de Riemann-Stieltjes. La situation se complique pourtant si la fonction à intégrer, , devient aussi irrégulière que la trajectoire elle-même. Pour fixer les idées, prenons . Dans ce cas, il est faux que soit égale à . De manière assez surprenante, la valeur exacte de l'intégrale stochastique dépend, en général, du choix du schéma d'interpolation. Pour comprendre ce phénomène, utilisons l'identité élémentaire

Si , on a

et

Pour la somme restante on a

et

Ceci entraîne que

Par conséquent, l'approximation de l'intégrale stochastique par une somme de type Riemann-Stieltjes n'est pas indépendante du choix du schéma d'interpolation.

La simplification des formules obtenue à l'aide de l'intégrale de Stratonovich peut suggérer l'utilisation de cette détermination pour le calcul des intégrales stochastiques. Dans plusieurs cas, cette détermination simplifie effectivement les calculs. Cependant, il n'est pas toujours souhaitable d'utiliser cette détermination pour d'autres raisons que le lemme suivant met en évidence.

Il suffit de calculer de manière élémentaire, en se servant de l'indépendance des accroissements par rapport à la tribu ,

Ce corollaire donne toute son importance à l'intégrale de Itô qui est un processus naturellement adapté à la filtration du brownien et peut servir dans des problèmes de prévision où l'on ne dispose des informations que jusqu'au moment actuel. Par contre, l'intégrale de Stratonovich ne peut servir de manière anticipative puisque les valeurs futures du processus sont exigées pour le calcul de l'intégrale stochastique ; elle viole le principe de causalité.