Formule de Itô

Notre but est de généraliser la notion d'intégrale stochastique au cas où la courbe par rapport à laquelle on intègre est la trajectoire d'un processus autre que le brownien. On rappelle que si est un processus adapté à une filtration tel que existe, on dit qu'il est une sur-martingale si pour et une sous-martingale si pour . On dit que est une semi-martingale s'il est soit une sur- soit une sous-martingale.

Un résultat classique, dû à Doob, établit que toute semi-martingale continue et nulle en zéro peut être décomposée en

où est une martingale continue et un processus (prévisible) à variation bornée. Il est facile de voir que le processus est leprocessus prévisible associé à la décomposition de Doob du processus adapté .

La formule de Itô est la généralisation de la formule de développement limité d'une fonction si l'on suit sa variation le long d'une courbe non nécessairement différentiable. Sous forme différentielle la formule de Itô s'écrit de manière équivalente comme

Dans le cas particulier où on retrouve la formule pour l'intégrale stochastique établie au début de ce chapitre :