Repésentation de Fortuin et Kasteleyn

Le problème de percolation admet une généralisation qui permet de le relier à beaucoup d'autres modèles. On se place pour l'instant sur un graphe fini arbitraire. On suppose que chaque arête peut être ouverte ou fermée. Contrairement au modèle initial de percolation où la donnée des états des arêtes était le seul degré de liberté, on introduit maintenant un esemble de couleurs sur les sommets. Le modèle enrichie aura alors un espace de configurations augmenté où et . Probabilité sur . Pour une arête , on introduit la notation et on intoruit la mesure de probabilité sur qui a une densité par rapport à la mesure de comptage donnée par

où est un facteur de normalisation, appelé fonction de partition.

En se servant de la formule du binôme

on développe le produit sur les arêtes qui apparaît dans la formule de la mesure . En introduisant les ensembles aléatoires et , on obtient

Il est alors immédiat de calculer la marginale

La présence de la contrainte impose la même couleur sur tous les sommets d'une composante connexe de . Donc

où . Contrairement aux autres termes de ce terme est non-local. Il suffit en effet parfois de changer une arête située arbitrairement loin d'un région compacte pour que la valeur de change. La variable aléatoire ne peut pas donc être mesurable par rapport à la tribu engendrée par les variables aléatoires indexées par les arêtes de la région compacte. Il s'agit d'un terme non-local qui complique le modèle initial. Èvidemment si on retouve la mesure de probabilité produit de la percolation. Le cas porte le nom de modèle d'Ising, tandis que le cas s'appelle modèle de Potts.

La mesure définie ci-dessus porte le nom de représentation de Fortuin et Kasteleyn du modèle d'amas aléatoire. Finalement la marginale s'appelle mesure de Gibbs du modèle à volume fini.

Si le volume est infini (l'ensemble de sommets est infini dénombrable), une manière de procéder est par régularisation à volume fini et étude de la limite faible de la suite de mesures à volume fini. D'autres méthodes sont aussi possibles comme la méthode de Dobrushin, Lanford et Ruelle qui sera étudiée dans le chapitre .