L'ensemble canonique

L'ensemble microcanonique a deux inconvénients :

• les calculs explicites sont extrêmement compliqués et
• il exige la connaissance de l'énergie avec une précision absolue, tandis que le seul moyen d'agir sur le système c'est par la régulation de sa température.

Ces considérations ont amené Gibbs [GIBBS] à introduire une nouvelle mesure où l'énergie n'est pas fixée ; le système a un nombre de particules fixé mais peut échanger de l'énergie avec son environnement. On ne va pas présenter les arguments qui ont guidé Gibbs à postuler la forme particulière de la mesure . On va uniquement l'introduire de manière axiomatique et indiquer le livre de [HUANG] pour le lecteur intéressé par les arguments physiques.

La masse totale de la mesure

est appelée fonction de partition canonique ; elle sert de génératrice de moments de divers grandeurs thermodynamiques et de facteur de normalisation.

On peut par exemple calculer l'espérance de l'hamiltonien -- qui correspond à l'énergie moyenne du système -- par

Il est évident que cette espérance dépend de la température. Si l'on règle la température pour que , on peut monter que la fluctuation devient négligeable quand . Ce phénomène est connu sous le nom d'équivalence des ensembles [LANFORD]. Sa signification profonde est que malgré le fait que l'ensemble canonique fait a priori intervenir toutes les configurations, en réalité, seules les configurations sur la variété interviennent de manière significative.