Quelques problèmes fondamentaux de la percolation

Soient et . On note s'il existe un chemin connexe d'arêtes avec qui les joint. Si est l'amas contenant , on note . Noter que se refère au cardinal d'un ensemble d'arêtes tandis que se refère au cardinal d'un ensemble de sommets et que par conséquent .

Dans la suite on se limite à l'étude de la percolation homogène, c'est-à-dire du cas , . Par l'invariance du système par rapport aux translations, on s'intéresse uniquement à l'amas qui contient , noté dans la suite.

Il est facile de voir que fonction croissante de , prenant les valeurs et . Donc, il existe tel que

Le cas de système en dimension est sans intérêt puisque , ce qui signifie que le problème de percolation en dimension 1 est trivial, tous les amas étant presque sûrement finis.

Tout amas de percolation infini en dimension contenant 0 l'est aussi en dimension . Par conséquent,

ce qui entraîne que

Il suffit de montrer que pour et à cause du lemme précédent que .

Première étape: pour . Définir

et

On voit que le premier nombre est un paramètre géométrique (combinatoire), caractéristique du réseau tandis que le deuxième nombre est une variable aléatoire, dépendante de la configuration . Un chemin qui contribue à contibue aussi à si, et seulement si, toutes les arêtes qui le composent sont fermées. Donc

Si l'origine est contenue dans un amas infini, il y aura des chemins d'arêtes fermées de longueur arbitraire émanant de 0. Donc

pour un arbitraire. Alors

On peut trivialement borner (pourqoi ?). En choisissant , on voit donc que .

Deuxième étape: . Cette étape fait usage du fameux argument de Peierls [#!Pei!#]. Aux sommets, arêtes et facettes du graphe direct , on associe les facettes, arêtes et sommets du graphe dual, chaque arête du graphe dual coupant une arête du graphe direct (cf. annexe ??).

Figure: Sur ce graphique sont représentés deux amas de percolation finis (en continu). Ils sont entourés des circuits d'arêtes duales fermées (en discontinu) qui bloquent leur extension à l'infini; cependant, toutes les arêtes duales fermées ne sont pas représentées sur cette figure pour ne pas l'alourdir inutilement.

On décide qu'une arête duale sera fermée si, et seulement si, l'arête directe est ouverte. Supposons maintenant que l'amas contenant soit fini. Il existe alors un circuit d'arêtes duales fermées, contenant en son intérieur, qui bloque le passage de . Inversement, si est contenu dans l'intérieur d'un circuit d'arêtes duales fermées, alors l'amas le contenant est fini. On a donc l'égalité des événements

Par ailleurs, on a la majoration combinatoire

En effet, chaque circuit de longueur conteant l'origine, contient au moins une arête duale qui coupe le demi-axe positif de . On a possiblités de choisir cette arête ; quant au arêtes restantes qui composent le circuit, on peut les combiner l'une à la fin de l'autre selon au plus possibilités chacune.

Ainsi,

Si est proche de 1 ( ), on peut trouver tel que ou ce qui entraîne . Dans la figure on observe la non-triviailité de la valeur de en dimension 2 et 3. On observe aussi clairement la décroissance de avec la dimension.

Figure: Estimation de pour en et . On observe très clairement que est une fonction décroissante de la dimension.

Il est aussi intéressant d'étudier la variation de en fonction du graphe sous-jacent. Ainsi figure donne les résultats d'une simulation pour la détermination de dans un graphe bi-dimensionnel hexagonal. On observe que la probabilité critique dans cette situation est supérieure à la valeur obtenue pour le graphe carré.

Figure: Estimation de pour un réseau hexagonal en dimension 2. En comparant avec on observe une augmentation de due à l'abaissement du degré des sommets du réseau hexagonal par rapport au réseau .