Marche aléatoire à extrémités fixes

Il est très souvent utile, au lieu de étudier des marches ancrées à l'origine mais dont l'autre extrémité est libre, de considérer uniquement des marches dont les deux extrémités sont ancrées à des points différents. Or les événements sont extrêmement rares par rapport à toute mesure raisonnable sur . De point de vue algorithmique il est donc inefficace de simuler des marches sur si ce sont les événements de qui nous intéressent. L'algorithme présenté ici -- au cas des marches bi-dimensionnelles soumises à un hamiltonien d'interaction -- permet justement de générer une chaîne de Markov sur ayant comme probabilité stationnaire la mesure de Gibbs grand canonique sur .

L'algorithme consiste à choisir un lien au hasard et à proposer un déplacement perpendiculaire à chaque lien choisi, comme le montre la figure ci-dessous.

unit=0.5mm (180,120) (0.5mm,0.5mm) (10,80)(30,80)(50,80)(70,80) (10,80)2 (30,80)2 (50,80)2 (70,80)2 (85,85)(1,0)10 (95,75)(-1,0)10 (110,80)(130,80)(130,100)(150,100)(150,80)(170,80) (110,80)2 (130,100)2 (150,100)2 (150,80)2 (170,80)2 (10,30)(30,30)(30,50)(50,50)(70,50) (10,30)2 (30,30)2 (30,50)2 (50,50)2 (70,50)2 (85,45)(1,0)10 (95,35)(-1,0)10 (110,30)(130,30)(150,30)(150,50)(170,50) (110,30)2 (130,30)2 (150,30)2 (150,50)2 (170,50)2

Selon la configuration locale (déterminée à partir des orientations du lien précédent et du lien suivant le lien choisi [voir figure]) ce déplacement modifie la longueur de la marche de , ou . On donne à ces mouvements un poids , ou respectivement. Dans la suite, on dénote par une fonction bornée arbitraire

Alors l'algorithme est le suivant [ARAGAO ET AL.]

Questions

1. Montrer qu'un choix possible pour les poids à deux dimensions pour que l'algorithme reste ergodique serait , et .
2. Donner la relation la plus générale que doivent vérifier les poids à pour que l'algorithme soit ergodique.
3. Montrer que cet algorithme admet comme probabilité stationnaire la probabilité de Gibbs grand canonique modifiée
   
   
   
   où
   
   
   

4. Programmer cet algorithme.
5. Appliquer cet algorithme à la simulation du modèle d'Edwards, c'est-à-dire d'une marche aléatoire où représente le nombre d'auto-intersections de la marche.