Uniformité de distribution

Si est une suite numérique et , on note

où est la partie fractionnaire.



A cause de la définition de l'uniformité, pour les fonctions étagées on a égalité entre la moyenne arithmétique et l'intégrale de la fonction. Pour toute fonction continue sur l'intervalle fermé , on peut trouver deux fonctions étagées et avec

et

telles que l'on ait, pour tout ,

où sont les bords des intervalles de la partition de . Pour tout , il existe une partition de , suffisamment fine pour laquelle on a

On a alors :

ce qui montre que la limite existe et est égale à .

Réciproquement, pour tout couple de réels , avec , et tout , il existe deux fonctions continues, et , sur telles que

et

On a alors

ce qui montre l'existence de la limite et son égalité à .

La nécessité de cette condition est évidente à cause du corollaire précédent. Supposons donc que, pour tout entier ,

Pour toute fonction continue et périodique de période 1, notons

où sont les coefficients de Fourier de , le polynôme trigonométrique de degré qui approxime le mieux la fonction . Pour tout , on peut choisir tel que

On a donc

En choisissant suffisamment grand, le premier et le troisième termes deviennent plus petits que et en choisissant suffisamment grand, le deuxième terme le devient aussi.