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Mesures de Gibbs pour les systèmes dynamiques

Soit système dynamique sur compact métrique, homéomorphisme de et mesure normalisée, invariante sous .

On se sert de pour choisir le point initial selon cette mesure. L'évolution du système dynamique entraîne que induit une mesure sur les orbites émanant de de la même manière que pour une chaîne de Markov, la donnée de la mesure a priori et de la matrice stochastique déterminent de manière unique une mesure sur les trajectoires. On note abusivement par le même symbole la mesure induite sur les orbites infinies du système dynamique.

Soit une fonction bornée, On définit la fonction de partition à horizon fini pour le système dynamique, la quantité


On introduit une nouvelle mesure sur les orbites, définie par




On peut montrer que comme pour le cas fini, les mesures de Gibbs sur les orbites infinies des systèmes dynamiques sont les mesures qui maximisent l'entropie et sont obtenues alors par un principe variationnel. Malgré l'intérêt que présentent ces notions, cette ligne ne sera pas développée dans ce chapitre. Le lecteur intéressé pourra consulter l'article de Sinai [#!Sin!#]. On aura l'occasion par la suite d'aborder de nouveau la notion de mesure de Gibbs sous un autre aspect.


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Dimitri Petritis 2003-07-03