Échantillonnage selon l'importance

Pour illustrer cette méthode, on se limite au calcul de pour un compact de , avec et, pour ne pas alourdir la notation, dans la suite on considère le cas simple . Pour toute fonction densité de probabilité qui vérifie pour tout , on peut écrire

l'espérance étant prise par rapport à la variable aléatoire distribuée selon une loi de densité . En appelant on vérifie que et que . On choisit

comme estimateur fidèle de , où sont des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées selon . Il est facile de voir que .

La variance obtenue avec est

Il suffit donc de montrer que

pour toute densité . Mais, par l'inégalité de Cauchy-Schwartz, on a

Ce corollaire nous assure que le théorème précédent est relativement vide de point de vue utilité pratique puisque dans l'expression de la densité optimale apparaît le paramètre à estimer.

Si l'utilité de la méthode n'est pas assurée par ce théorème, ce dernier nous donne une indication vers quelle direction faut-il chercher afin de minimiser la variance : il nous incite à prendre une fonction densité dont le profil épouse d'aussi près que possible la forme de . En particulier, il est toujours profitable de charger par les régions de où .