Exposants critiques

Le résultat asymptotique sur le nombre des marches sans recoupement qui a permis l'introduction de la notion du nombre de coordination effectif peut être aussi vu sous un autre angle, à savoir que où est une fonction à variation lente telle que asymptotiquement . La fonction décrit le comportement asymptotique sous dominant. On aimerait donc avoir plus des précisions sur la nature de cette fonction. Évidemment, pour les marches ordinaires, cette fonction est identiquement égale à la fonction constante 1. Pour les marches sans recoupement, il est conjecturé que

avec et . Les exposants et (dont l'existence est loin d'être démontrée) portent le nom d'exposants critiques.

Une autre grandeur avec un comportement asymptotique intéressant est le rayon de giration de la marche, définie comme la distance euclidienne moyenne entre les deux extrémités de la marche :

Une conjecture prédit pour le comportement asymptotique du rayon de giration la forme :

où est l'exposant critique qui dépend évidemment de la dimension. Pour mémoire, on rappelle que pour les marches ordinaires (sans contrainte de non recoupement) cet exposant est bien défini et sa valeur est exactement connue ( à toute dimension .) Ceci n'est plus le cas pour les marches sans recoupement. Intuitivement, la contrainte de non recoupement impose une croissance plus rapide du rayon de giration et ce phénomène doit être d'autant plus marqué que la dimension soit petite. Ainsi, à , la marche sans recoupement est un processus déterministe avec mais il a été longtemps conjecturé que

Cette conjecture a été vérifiée numériquement à avec une bonne précision [#!BerSok!#] mais, toujours numériquement, il semble exclu qu'elle soit vraie à où avec une bonne précision [#!ForKouPet86!#].

En guise de conclusion, on constate que le sujet de marches aléatoires avec des contraintes topologiques globales telle que le non recoupement est un sujet de recherche très actif et jusqu'à nos jours il y a plus de problèmes soulevés qu'il y en a de réponses. Comme illustration de la méthode Monte Carlo dynamique dans un cas concret, on va voir une première application dans le cas de marches sans recoupement.

Avant de clore ce paragraphe, il faut signaler qu'il est toujours très délicat de décider numériquement du comportement asymptotique d'une quantité. L'exemple soluble qui est exposé ci-dessous permet d'appréhender certaines des difficultés inhérentes à ce genre d'estimation. Considérons en effet de marches aléatoires ordinaires, ancrées à l'origine et introduisons la variable aléatoire

pour . Le comportement asymptotique de son espérance est explicitement connu :

Si ce comportement n'était pas connu, il faudrait faire une simulation pour le déterminer. Les figures suivantes, représentant pour diverses valeurs de à et , permettent d'illustrer cette difficulté^6.4.

Figure: Comportement asymptotique de en dimension 2 et 3. Comparer l'aspect qualitatif de ces figures avec le comporement exact donné dans le texte. (Remarquer que les échelles ne sont pas identiques pour les deux figures tout de même!)

Ces deux figures montrent qu'il est illusoire d'espérer de déterminer par simulation un comportement logarithmique. Tout ce que l'on peut espérer est l'estimation d'un comportement en puissance.