Méthodes numériques pour les équations différentielles déterministes

On se place dans le cadre uni-dimensionnel pour le problème

où est la condition initiale et vérifie les conditions d'existence et d'unicité de solution pour le problème précédent.

Toute résolution numérique procède par discrétisation de l'intervalle selon le schéma

On se limite au cas où le pas de discrétisation est constant pour , c'est-à-dire . On dénote par l'approximation de la solution au point . Le schéma d'Euler consiste à tronquer le développement limité de la solution au deuxième ordre

et à utiliser l'équation différentielle pour écrire

On obtient une solution approchée sur les points de la discrétisation en écrivant

On constate cependant que cette méthode, tout en restant d'ordre , souffre d'une accumulation des erreurs qui rend le calcul de de moins en moins précis quand augmente. Une amélioration de la méthode d'Euler est la méthode de Runge-Kutta qui procède par approximation polynômiale pour le calcul de la dérivée . Le schéma de Runge-Kutta le plus souvent utilisé est le schéma d'ordre qui s'écrit