Aimantation spontanée

L'algorithme de Metropolis a été conçu pour étudier le phénomène de transition de phase en mécanique statistique. Pour fixer les idées, limitons-nous au cas du modèle d'Ising dont on rappelle ci-dessous le potentiel d'interaction :

avec et . On a vu que le comportement de ce système est très sensible à la dimension du réseau et à la température. Ainsi, si et , ce système présente une transition de phase dans la limite du volume infini ( )qui se manifeste mathématiquement par la multiplicité de mesures de Gibbs à basse température. En d'autres termes, la mesure de Gibbs dépend des conditions aux bords que l'on impose. Numériquement, on met en évidence cette transition de phase en étudiant l'aimantation du système.

Cette quantité n'a pas de limite quand tend vers l'infini et en outre elle fluctue énormément avec la configuration . On peut par contre étudier l'aimantation spécifique moyenne définie par

où est la spécification de Gibbs associée à la condition au bord . Cette fonction a une limite bien définie quand le volume devient infini dont la valeur dépend de la valeur de . En dimension 2 et pour le comportement typique de , pour est montré sur le graphique suivant qui représente l'aimantation spécifique moyenne en fonction de la température.

Figure: L'aimantation spécifique moyenne en fonction de la température.

La singularité ponctuelle (variété de dimension 0) à sépare la région haute température de la région basse température. Dans le cas d'hamiltoniens plus compliqués, les singularités séparatrices sont sur des variétés de dimension plus élevée et leur étude porte le nom d'étude du diagramme des phases [#!KouPetZah!#].

Une autre quantité intéressante à étudier est la fonction génératrice de semi-invariants de la mesure de Gibbs, connue en physique sous le nom d'énergie libre spécifique.

Tant que soit différent de 0, la limite thermodynamique ( ) de l'énergie libre spécifique est bien définie et indépendante de la condition aux bords . En dérivant cette fonction par rapprort à , on a un autre moyen de calculer l'aimantation, pour , par

Cette formule reste utilisable même en à haute température. À basse température par contre, l'énergie libre spécifique présente une singularité essentielle dans le plan complexe de en qui se traduit par un saut finie de en .

Ainsi, à haute température, le comportement de l'aimantation est décrit par la figure suivante .

Figure: L'aimantation spécifique en fonction du champ externe pour le régime à haute température (à gauche) et le régime à basse température (à droite).

On voit, qu'à basse température, le système peut présenter une aimantation même en absence de champ externe ; on parle alors d'aimantation spontanée.