Description trajectorielle globale

Dans le paragraphe précédent, l'espace de probabilité fondamental est l'espace sur lequel les variables aléatoires sont définies et l'objet élémentaire est le déplacement à chaque étape, à savoir la variable aléatoire .

Une manière équivalente de décrire les choses est de considérer comme objet fondamental la trajectoire complète du processus pour une réalisation de l'aléa. La structure probabiliste sera obtenue en munissant l'espace de toutes les trajectoires possibles et imaginables d'une mesure de probabilité. En définissant et , on introduit l'espace canonique

et . Le processus sera alors défini sur comme la collection des variables aléatoires , avec . Une marche aléatoire de longueur sera alors identifiée avec la trajectoire correspondante . Cette description est totalement équivalente à la précédente si est identifiée avec la variable aléatoire . Si en outre les variables aléatoires sont indépendantes et identiquement distribuées et la loi de est une équidistribution sur , la probabilité induite est une équidistribution sur .

Il est alors facile de montrer l'équivalence entre la description locale et la description trajectorielle.

Cette description globale équivalente présente l'avantage d'offrir une interprétation visuelle (ou matérielle). En effet, pour chaque réalisation, est une trajectoire composée de liens juxtaposés. En outre, elle se prête à de diverses généralisations incluant des contraintes et, enfin, elle est particulièrement bien adaptée à la simulation numérique à cause de l'expression empirique de la probabilité donnée par la proposition précédente.