Marches aléatoires dans un environnement aléatoire ou dynamique

Un autre cas de processus hautement non-trivial est celui des marches aléatoires dans un environnement aléatoire.

La marche ordinaire symétrique est définie en donnant une égale probabilité à toutes les directions possibles mais cette situation est assez spéciale. Considérons en effet l'espace de toutes les directions possibles . Comme cet espace est fini, il est probabilisé à l'aide d'une application telle que . Or, les relations et pour tout définissent un simplexe . Chaque point du simplexe correspond à la donnée de nombres entre 0 et 1 dont la somme est égale à 1 et qui peuvent par conséquent être interprétés comme la donnée d'une probabilité sur .

Il y a plusieurs manières qui permettent d'introduire un nouvel aléa ambiant indépendant de l'aléa intrinsèque de la marche aléatoire. Pour décrire ce nouvel aléa, on introduit une famille de variables aléatoires , à valeurs dans le simplexe , indexées par une famille d'indices . On va se limiter au cas où l'environnement est décrit par un champ indépendant i.e. les variables aléatoires et sont indépendantes si .

Supposons maintenant qu'une famille de variables aléatoires indépendantes , à valeurs dans soit donnée. Une marche aléatoire dans l'environnement aléatoire est définie comme la somme des variables aléatoires indépendantes à valeurs dans distribuées selon la loi (qui dépend de l'indice )

• La famille est indexée par le temps propre de la marche : Dans ce cas, l'environnement est réalisé localement en suivant la trajectoire de la marche ; i.e. l'ensemble d'indices coïncide avec l'ensemble des temps propres de la marche. Le processus est trivialement sans corrélation, c'est-à-dire si .
• L'aléa est solidaire du réseau : de nouveau on considère une suite de variables aléatoires indépendantes à valeurs dans le simplexe mais qui sont indexées cette fois-ci par les sites du réseau, i.e. . On définit la marche comme une chaîne sur caractérisée par son point d'ancrage et par les probabilités de transition
  
  
  
  Cette description modélise de manière beaucoup plus fidèle des phénomènes de propagation dans des milieux désordonnés. Elle se prête en outre très facilement à une formulation trajectorielle globale. On remarque que cette situation est fondamentalement différente de la précédente puisque le processus a des corrélations de longue portée.

Dans les deux cas, la probabilité de transition de la chaîne devient une probabilité aléatoire. Cet aléa supplémentaire est caractéristique de ce que l'on appelle un système désordonné en physique.

Très peu de résultats rigoureux sont connus à propos de ces marches. Dans le livre de [#!Rev!#,#!Gui!#] sont récueillis les principaux résultats connus à ce jour, essentiellement en dimension 1.

EXPLIQUER SITUATION DES MARCHES DYNAMIQUES