Exposants de Lyapunov

On étudiera dans ce paragraphe un deuxième aspect de l'imprévisibilité d'un système dynamique, sa sensibilité aux conditions initiales. Soit un système dynamique et supposons l'espace muni de sa métrique euclidienne. Prenons deux points et de « proches » comme conditions initiales des suites et . On a alors

Si , on doit remplacer la dérivée par où est la matrice jacobienne .

On a alors le résultat suivant

Intuitevement, ce théorème nous dit que, pour , . Donc si , deux trajectoires émanant de points très voisins se mettent à diverger exponentiellement avec le temps pour certaines directions. C'est l'effet « papillon » de la météorologie : un papillon qui bât les ailes à Tokyo peut déclencher un cyclone tropical en Guadeloupe.