Mécanique statistique

La mécanique statistique a joué un rôle particulier dans l'histoire du développement de la méthode Monte-Carlo puisqu'elle fut à l'origine des problèmes étudiés et des algorithmes utilisés [#!Met_SPMgt__SPMgt__SPMgt_!#] Ainsi, ne serait-ce que pour comprendre l'origine de la terminologie utilisée, il est instructif d'avoir un aperçu des problèmes soulevés en mécanique statistique. L'ambition de cette branche de la physique est d'expliquer certains phénomènes de tous les jours comme par exemple la transformation d'eau en glace ou en vapeur quand on fait varier la température ou la perte d'aimantation permanente quand on chauffe suffisamment un aimant naturel. Elle permet aussi de donner une explication microscopique aux phénomènes de la thermodynamique, en particulier à la loi d'augmentation d'entropie et la non reversibilité.

La caractéristique essentielle des systèmes physiques étudiés par la mécanique statistique est le très grand nombre de constituants élémentaires (1cm d'eau contient environ molécules) qui interagissent fortement entre eux. En effet, une molécule isolée d'eau (ou, ce qui revient au même, un amas de molécules sans interactions) ne gèle ni s'évapore. Ce sont les interactions qui changent fondamentalement le comportement de l'amas pour lui conférer des propriétés collectives.

Dans la suite, on va se limiter au cas des systèmes sur réseau régulier (qui offrent une bonne modélisation de propriétés magnétiques d'alliages métalliques).

Ainsi, l'ensemble des sites sera identifié avec l'ensemble où est un entier positif, la dimension du problème. L'ensemble des arêtes est avec

Le graphe correspondant est le réseau hypercubique maillé.

Le deuxième ingrédient, l'espace à un site , dépend du problème à traiter. Cependant, même le choix le plus simple avec est suffisamment riche pour modéliser assez fidèlement la situation dans le cas d'un ferro-aimant.

Finalement, l'interaction dépend explicitement du modèle. Une interaction très étudiée en physique est celle définie par le potentiel d'interaction

avec et . Le modèle ainsi défini est connu sous le nom de modèle d'Ising [#!Isi!#].

Il est démontré [#!Ons!#] qu'en dimension 2, le modèle d'Ising subit une transition de phases dans le sens qu'à basse température et à champ externe nul (), il y a plusieurs mesures de Gibbs, , tandis qu'à haute température il y a unicité, . La température est explicitement connue. Malgré les efforts considérables déployés depuis une cinquantaine d'années par la communauté scientifique internationale, on ne connaît pas explicitement en dimension 3 ou plus.