Une équation différentielle stochastique pour minimiser une fonction

Soit une application uniformément lipschitzienne qui satisfait la borne de croissance asymptotique . On s'intéresse aux minima globaux de la fonction . Pour cela, on écrit l'équation différentielle [KLOEDEN ET AL.]

1. Montrer que les minima de sont des points fixes stables du système dynamique correspondant.
2. On ajoute un bruit de la forme , où est une fonction continue et bornée. On interprète alors l'équation obtenue comme une équation différentielle stochastique de Itô
   
   
   
   
   
   
   Montrer que l'équation différentielle stochastique obtenue admet une solution presque sûrement unique.
3. On choisit pour le coefficient de diffusion la fonction
   
   
   
   Sans chercher à résoudre cette équation, quel sera, á votre avis le comportement asymptotique à grand du processus  ?
4. Pouvez-vous démontrer votre réponse intuitive ?
5. Utiliser le schéma de Milstein pour chercher numériquement la solution trajectorielle de l'équation différentielle stochastique. Application : utiliser une fonction de la forme
   
   
   
   Répéter votre expérience pour plusieurs rélisations du hasard et tracer sur la même figure toutes les trajectoires du processus jusqu'à des temps assez grands. Qu'observez-vous ?