Exercices

1. Vous pouvez utiliser la routine généraliste suivante pour programmer l'algorithme de génération de variables aléatoires indépendantes selon la loi uniforme sur en utilisant la méthode congruentielle (affine).

           subroutine unifgl(a,c,m,ix,u)
           double precision a, c, m, ix
           intefer k1
           real u
           ix = a * ix + c
           k1 = ix / m
           ix = ix - k1 * m
           u = ix / m
           end
   

   Cette routine, par l'utilisation des variables double precision permet de traiter convenablement les dépassements de éventuels sur les machines de 32 bits. Application : , et .
2. Une manière différente pour programmer le générateur
   
   
   
   en en faisant usage que d'entiers-machine consiste à écrire le sous-programme FORTRAN suivant, utilisant une astuce de programmation^2.5 due à [#!Bra___!#] :

           subroutine unif(ix,u)
           k1 = ix/127773
           ix = 16807*(ix-k1*127773)-k1*2836
           if (ix.lt.0) ix = ix+2147483647
           u = ix*4.656612875e-10
           end
   

   Comparer les résultats obtenus pour 1000000 tirages avec le programme généraliste et le programme ci-dessus. (Si l'initialisation se fait avec la même racine, il faut que les deux suites obtenues soient identiques).

3. Utiliser la routine d'appel de l'horloge de votre système informatique pour comparer les vitesses respectives du programme généraliste et du programme de Bratley.
4. Se servir de la routine unif pour générer des variables aléatoires indépendantes et discrètes, uniformément distribuées sur , pour un entier donné.
5. Programmer l'algorithme polaire pour la génération de variables aléatoires distribuées selon la loi . Se servir de ce programme pour générer une suite de variables aléatoires distribuées selon la loi .
6. Programmer l'algorithme de génération de variables aléatoires distribuées selon la loi exponentielle de paramètre .
7. Programmer l'algorithme de génération de variables aléatoires distribuées selon la loi .
8. Une variable aléatoire suit la loi de Cauchy centrée en et de largeur à mi-hauteur si
   
   
   
   Proposer un algorithme pour échantillonner selon la loi de Cauchy en disposant d'un générateur de loi uniforme sur l'intervalle . Programmer cet algorithme.
9. Soient et deux suites de variables aléatoires indépendantes, distribuées selon la loi uniforme sur mais qui ne sont pas mutuellement indépendantes. En supposant que leur coefficient de corrélation est et en supposant que sont les coordonnées cartésiennes d'un point aléatoire dans le carré , quelle est à votre avis la forme du nuage des points  ?
10. Générer deux suites et de variables aléatoires indépendantes et mutuellement indépendantes, distribuées selon la loi uniforme sur . Pour un paramètre donné, construire une suite de variables aléatoires indépendantes dont le coefficient de corrélation avec les variables est . En considérant que sont les coordonnées cartésiennes d'un point dans le carré , afficher les points ainsi obtenus pour diverses valeurs de . Votre prédiction faite lors de la question précédente était-elle correcte ?
11. Pour le système dynamique donné par la transformation de l'intervalle par l'applicatation tracer les graphes de 4 premières itérées , , et pour et l'opérateur de Perron-Frobenius. Montrer que est un point fixe de . Tracer le graphe de . Quelle est votre conjecture?
12. Calculer l'opérateur de Perron et Frobenius pour , et estimer numériquement la limite pour et .
13. Pour on définit trois transformations , par
    
    
    
    
    
    
    Choisir 10000 points régulièrement disposés dans et afficher les 6 premières itérées de pour les trois applications ci-dessus.