AGORAGEO

Compléments de géométrie pour le capes de mathématiques

Jean-Marie Lion, IRMAR - UFR Mathématiques, Université de Rennes 1


2016-2017

Agenda des compléments d'algèbre, géométrie et algorithmique II

Liste d'exercices (Pythagore, dénombrement, arithmétique, coniques, les complexes en géométrie, les courbes et les surfaces)

Contrôles continus : cc1, cc2, cc3, cc4

2015-2016

Contrôles continus : cc1, cc2, cc3, cc4

2014-2015

Liste d'exercices sur la suite logistique

Contrôles continus : cc1, cc2, cc3, cc4, cc5, cc6, cc7, cc8

2013-2014

Contrôles continus : cc1, cc2, cc3, cc4, cc5, cc6, cc7, cc7 bis, examen de seconde session

2007-2008

Liste d'exercices 2007-2008

Solutions de certains exercices

Solution de l'exercice 58 (19/10/07) Aire d'un triangle, déterminant, sinus, birapport - Cocyclicité et birapport - Construction à la règle d'un point d'un cercle lorsqu'on en connaît déjà cinq

Solution de l'exercice 57 (17/10/07) Critères de cocyclicité liés aux angles orientés de vecteurs et de droites - Application à l'étude d'une configuration géométrique remarquable

Solution des exercices 41 et 42 (18/10/07) Alignement de trois points du plan et loi d'addition de la cubique y=x^3 - Concourance de trois droites et déterminant

Solutions des exercices 30 et 31 (14/10/07) Birraport, inversion et cocyclicité - Cercle des neuf points

Solutions des exercices 19 et 29 (13/10/07) Inégalité de Ptolémée - Puissance d'un point par rapport à un cercle, représentation complexe du plan affine eucliden, inversion complexe, critères de cocyclicité

Solution de l'exercice 12 (18/10/07) À propos du théorème de Thalès

Solutions des exercices 1 à 8 (1/10/07) L'âge de Diophante, analyse d'une erreur de traduction - Triangle isocèle - Questions d'extrema pour des triangles inscrits dans un cercle (aire, périmètre), généralisation aux polygônes - Construction à la règle et au compas de barycentres - Transformations affines fixant globalement un triangle, convexité, isométries fixant globalement un triangle, triangles semblables - Transformations affines fixant globalement un quadrilatère, cas remarquables - Pythagore par les aires et les similitudes - Pythagore suivant Clairault, transvections

Quelques questions

question 10 (19/07/08) Orthocentre, réflexion, cocyclicité

question 9 (11/06/08) Un calcul d'angle

question 8 (19/01/08) La division euclidienne des entiers naturels et la propriété d'Archimède

question 7 (18/11/07) Centre de gravité, isaobarycentre et médianes d'un triangle

question 6 (10/11/07) Desargues, le cas des parallèles

question 5 (1/11/07) Nombres complexes - Inversion complexe et cocyclicité

question 4 (31/10/07) Continuité et dérivabilité de la puissance n-ème et de la racine n-ème établies à partir des définitions

question 3 (31/10/07) Mesure géométrique - Thalès - Pappus

question 2 (2/10/07) Cercles, similitude et alignement - Usage d'un critère de cocyclicité ou recours aux nombres complexes?

question 1 (27/09/07) Deux cercles donnent deux droites parallèles : critère de cocyclicité

Sur les nombres

Les réels (4/05/08) Construction des réels - Corps commutatif totalement ordonné - Valeur absolue - Suites convergentes - Suites de Cauchy - Propriété d'Archimède - Corps archimédien, partie entière, densité des rationnels - Borne supérieure - Majorant, minorant

Les relatifs et les rationnels (11/04/08) Relation d'équivalence - Construction des entiers relatifs - Construction des nombres rationnels

Ensembles finis, opérations algébriques, division euclidienne, écriture des entiers naturels (14/06/08) Ensembles finis - Cardinalité - Sommes, produits, opérations algébriques finies - Division euclidienne - Existence et unicité de l'écriture d'un entier naturel dans une base

Les entiers naturels (14/06/08) Construction des entiers naturels - Principe, raisonement et construction par récurrence - Addition et multiplication des entiers - Le point de vue de von Neuman et de Peano

Les ensembles, c'est tout (23/07/08) Les axiomes de la théorie des ensembles - Éléments de logique - Relation d'ordre - Lois de composition interne

2006-2007

Développement de questions abordées en 2006-2007

0. Montrer avec des arguments connus en 4ème qu’un triangle inscrit dans un cercle et dont un côté est un diamètre du cercle est rectangle. On utilisera en particulier qu’un quadrilatère est un rectangle si les diagonales sont de même longueur et de même milieu.
1. Groupes et sous-groupes : définitions.
2. Sous-groupe de R : caractérisation.
3. Exponentielle complexe. Construction et principales propriétés, liens avec la trigonométrie du cercle. Arguments d’analyse utilisés : critère de Cauchy pour les suites complexes, différentielle d’une fonction de deux variables réelles et inversion locale, estimation à l’aide de la série géométrique de raison 1/2, signe d’une fonction numérique de la variable réelle au voisinage d’un zéro où la dérivée est non nulle, théorème des valeurs intermédiaires. Arguments de topologie utilisés : l’étude des sous-groupes de R, continuité et connexité. Étude d'une suite récurrente complexe associée à la racine carrée.
4. Réduction des formes quadratiques définies positives par deux méthodes.
5. Produit scalaire, espaces vectoriels et espaces affines euclidiens et leurs topologies, sphères et cercles.
6. Le groupe orthogonal en dimension n, 2 et 3.
7. Les sous-groupes finis de GLn(R) sont conjugués à des sous-groupes du groupe orthogonal.
8. Les groupes compacts de GLn(R) qui sont les fermetures de groupes monigènes sont conjugués à des sous-groupes du groupe orthogonal (application de la triangulation des endomorphismes).
9. Les angles de vecteurs, de demi-droites, de droites et géométriques. On montre par quatre méthodes différentes que la somme des trois angles géométriques d’un triangle est 180 degrés. Une fois on utilise des arguments de convexité, des coordonnées barycentriques et la conservation des angles géométriques sous l’action des isométries. Une autre fois on fait un calcul à l’aide de trois bases qui définisseent la même orientation. La troisième preuve, plus savante, utilisera des arguments topologiques. La dernière utilise les nombres complexes et repose sur une identité utile pour prouver le théorème de l’angle au centre et les propriétés de cocyclicité.
10. Montrer avec des arguments connus en 3ème que l’intersection d’une sphère et d’un plan est soit le vide, soit un point, soit un cercle.
11. La preuve d’Euclide du théorème de Pythagore, à partir de la figure du Moulin à vent.
12. La formule cos(a−b) = cos(a) cos(b)+sin(a) sin(b) et le produit scalaire : survol des programmes de Géométrie de la première S à la quatrième.
13. Quelques rappels de géométrie différentielle dans R^2 sont faits : inversion locale, fonctions implicites, paramétrisation par l’abscisse curviligne, variation continue de la mesure d’un angle qui dépend de façon C^1 d'un paramètre.
14. Rappels sur les espaces affines, les barycentres, les coordonnées barycentriques et la convexité.
15. Diverses façons de prouver que la limite de sin(t)/t vaut 1 en 0.
16. Paramétrisation du cercle par les droites passant par un de ses points. Application à la résolution dans Q^2 de l’équation x^2+y^2=1.
17. Polygônes convexes et étoilés. Divers exercices qui permettent de résoudre le problème de Dido pour les lignes polygonales.
18. Interprétation des moyennes arithmétiques, géométriques, harmoniques, quadratiques.
19. Les applications qui conservent la distance euclidiennes sont des isométries affines.
20. Théorème de séparation de Jordan pour les lacets polygonaux.




Préparation au capes de Mathématiques de l'UFR Mathématiques