Miguel Rodrigues

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Analyse numérique

Évaluations

La note finale sera donnée par le maximum entre la note du contrôle final et la moyenne de la note de l'épreuve finale et de celle de contrôle continu.

Le contrôle continu se déroule en trois parties : deux épreuves classiques sur table le 15 février et le 28 mars, une épreuve de travaux pratiques le 10 avril.

Pour la seconde session, sont autorisées toutes les fiches de rappel et trois feuilles A4 recto verso de la main de l'étudiant. Le programme de cette épreuve couvre tout le cours.

Sujets 2017-2018 : Devoir 1, Devoir 2, Devoir final.

Sujets 2016-2017 : Devoir 1, Devoir 2, Devoir final.

Sujets 2015-2016 : Devoir 1, Devoir 2, Devoir final.

Cours

Le cours ne suit à la lettre aucun livre précis mais il s'inspire de quelques classiques du sujet :

G. Allaire et S.M. Kaber, Algèbre linéaire numérique;
P. Ciarlet, Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation complété par son livre d'exercices Exercices d'analyse numérique matricielle et d'optimisation par P. Ciarlet, J.-M. Thomas et B. Miara;
M. Crouzeix et A.L. Mignot, Analyse numérique des équations différentielles complété par son livre d'exercices Exercices d'analyse numérique des équations différentielles par les mêmes auteurs ;
J.-P. Demailly, Analyse numérique et équations différentielles;
F. Filbet, Analyse numérique;
M. Schatzman, Analyse numérique;

ou de sommes plus complètes comme :

A. Quarteroni, R. Sacco et F. Saleri, Méthodes numériques ;
J. Stoer et R. Bulirsch, Introduction to Numerical Analysis.

Le cours s'étale sur vingt-quatre heures.

Plan et avancement :

Algèbre linéaire :
1. Introduction : efficacité, exemple du calcul d'un déterminant par la méthode naïve ; sources d'erreurs, stabilité, consistance, convergence ; grande matrice, structures matricielles, approximation du laplacien par différences finies.
2. Rappels sur les matrices dont décomposition spectrale, décomposition de Schur et caractère ouvert de l'ensemble des matrices inversibles.
3. Normes et conditionnement : rappels sur les normes dont normes \(\ell^p\), produit scalaire, norme de Frobenius, normes subordonnées, expression de celles-ci dans les cas \(\ell^1\), \(\ell^2\) et \(\ell^\infty\); propagation des erreurs relatives sur les seconds membres et sur les matrices aux solutions des systèmes linéaires, conditionnement, propriétés élémentaires, expressions pour la norme \(\ell^2\), préconditionnement; rayon spectral, caractérisations comme borne inférieure des normes subordonnées d'une matrice et comme limite (et borne inférieure) des racines \(n^{\textrm{e}}\) des normes des puissances \(n^{\textrm{e}}\) d'une matrice (à norme vectorielle fixée).
4. Systèmes linéaires :
  1. Mise en garde : contre l'usage de l'inverse et les formules de Cramer.
  2. Méthodes directes : principes, factorisation ; algorithme de Gauss, opérations élémentaires sur les lignes, factorisation PLU, factorisation LU, calcul par identification, factorisation de Cholesky ; factorisation QR, lien avec la factorisation de Cholesky, procédé de Gram-Schmidt, méthode de Givens, méthode de Householder.
  3. Méthodes itératives par décomposition : principes, matrice d'itération, critère de convergence et rayon spectral ; méthodes de Jacobi, de Gauss-Seidel et de relaxation ; cas des matrices à diagonale strictement dominante, cas des matrices hermitiennes définies positives.
  4. Méthodes variationnelles : systèmes sur-déterminés, problèmes des moindres carrés, équation normale, existence, critère d'unicité, pseudo-inverse, lien avec la projection orthogonale, lien avec les problèmes classiques de minimisation, calcul par la factorisation de Cholesky, calcul par la factorisation QR ; principes des méthodes variationnelles ; méthode du gradient conjugué, interprétation comme la construction d'une suite de projetés orthogonaux, espaces de Krylov ; propriétés des espaces de Krylov, écriture de l'inverse d'une matrice comme polynôme en la matrice, méthode GMRES.
5. Problèmes spectraux :
  1. Motivation : itérations affines, équations différentielles affines, résonance, approximations de problèmes spectraux en dimension infinie.
  2. Mise en garde : caractère quadratique de la recherche de modes propres, caractère polynomial de la recherche de valeurs propres, théorème d'Abel ; continuité des valeurs propres, régularité dans le cas à valeurs propres simples, cas des blocs de Jordan, conditionnement spectral, caractère Lipschitz du spectre dans le cas diagonalisable, cas des matrices normales.
  3. Méthode de la puissance : convergence de la méthode, méthode de la puissance inverse, méthode de la puissance inverse décalée.
  4. Méthode QR : algorithme, description des points fixes de l'itération ayant des valeurs propres de modules deux à deux distincts, les matrices unitaires sont également des points fixes, création d'oscillations, convergence de la méthode dans le cas à valeurs propres de modules deux à deux distincts avec une diagonalisation adaptée.
Quelques problèmes non linéaires :
1. Rappels de calcul différentiel dont notations de Landau, différentiabilité, jacobiennes, gradients, hessiennes, développements de Taylor, extrema locaux, convexité, point fixe de Banach, inversion locale.
2. Méthodes itératives à un point : notions de convergences globale et locale ; convergence d'ordre 1, critére itératif, critére local, représentation graphique; convergence d'ordre supérieur à 1, critére itératif, critére local, représentation graphique.
3. Systèmes non linéaires : unicité locale, stabilité ; méthode de Newton, convergence locale et ordre 2 ; méthode de la sécante, ordre le nombre d'or ; dichotomie, convergence globale, ordre 1.
4. Optimisation : coercitivité, convexité, unicité locale des points critiques non dégénérés, stabilité ; minimisation du linéarisé sur une boule, méthode du gradient à pas fixe, convergence locale et ordre 1.
Interpolation et méthodes de quadrature :
1. Interpolation polynomiale : interpolation de Lagrange, forme de Lagrange, stabilité, différences divisées, forme de Newton ; erreur d'interpolation, rayon de convergence et convergence de l'approximation, phénomène de Runge, points de Tchebychev; interpolation polynomiale par morceaux ; interpolation de Hermite.
2. Quadrature : ordre de convergence d'une méthode à un pas de discrétisation ; méthodes des rectangles à gauche et à droite, du point milieu, des trapèzes ; ordre d'exactitude polynomiale et ordre de convergence, méthode de Gauss-Legendre.
Équations différentielles :
1. Rappels sur les équations différentielles dont réduction d'ordre, formulation intégrale, théorème de Cauchy-Lipschitz, propagation de la régularité, dépendance Lipschitz par rapport à la donnée initiale, critère d'explosion en temps fini, cas globalement Lipschitzien, lemme de Gronwall, cas linéaire autonome, formule de Duhamel.
2. Schémas numériques : principe, itération et quadrature, schéma d'Euler explicite ; schémas à un pas, convergence, ordre de convergence ; consistance, ordre de consistance, critères explicites d'ordre de consistance ; stabilité, consistance et stabilité donnent convergence, ordres de consistance et de convergence, ordre 1 pour Euler explicite ; schéma d'Euler implicite, justification pour des pas petits, réécriture comme un schéma à un pas, ordre 1 pour Euler implicite ; méthodes de Runge-Kutta d'ordre 2 et d'ordre 4, tableaux de Butcher.

Travaux dirigés

Les travaux dirigés s'étalent sur vingt-quatre heures.

Fiches de l'année 2017-2018 :

Une fiche surnuméraire pour aller plus loin : 6bis. Interpolation trigonométrique et transformée de Fourier discrète.

Travaux pratiques

Douze heures de travaux pratiques sont programmées.

Fiches : 1, 2, 3, 4, 5.

Éléments de correction du TP1 : programme principal, fonction auxiliaire.
Éléments de correction du TP2 : programme principal, fonctions auxiliaires 1 et 2.
Éléments de correction du TP4 : programme.
Éléments de correction du TP5 : programme.