Master Math. Fonda. 2021-2022, Université Rennes 1

Module THGG : Théorie des groupes et géométrie

page mise à jour le 30/11/2021 à 22:00

Contrôles

Le sujet de CC1 et son corrigé.

Le sujet de CC2 et son corrigé.

Archives : CC1 - 2019-2020   CC1 - 2020-2021   CC2 - 2019-2020   CC2 - 2020-2021.

TD

Feuille td1   Feuille td2   Feuille td3   Feuille td4.

Pour le groupe n° 1 l'encadrant est Salim Rostam et sa page web est ici.

Pour le groupe n° 2 l'encadrant est Matthieu Romagny et voici le journal du déroulement des TD.

    • Mardi 7 septembre : fait les exercices 1, 2, 3 de la feuille 1. Éléments de correction pour l'exercice 3 (Lemme de Zassenhaus).
    • Mardi 14 septembre : feuille 1, exercices 5, 6, 9, 11 (questions 1 et 2).
    • Mardi 21 septembre : feuille 1, exercices 11, 13, 14, 15.
    • Mardi 28 septembre : feuille 1, exercice 23, puis feuille 2, exercices 1, 2, 4 (début).
        Les autres exercices de la feuille 1 sont laissés pour votre entraînement personnel.
    • Mardi 5 octobre : feuille 2, exercices 4 (fin) et 5.
    • Mardi 12 octobre : feuille 2, exercices 6 et 11.
    • Mardi 19 octobre : feuille 2, exercices 12 et 15.
    • Prévision pour mardi 26 octobre : feuille 2, exercice 18 puis feuille 3, exercices 1, 3, 4.

Cours

    Organisation pratique du cours, calendrier, modalités d'évaluation, etc.
    Introduction.

1. Rappels sur les groupes et les actions de groupes. Résolubilité, simplicité.

    1.1. Sous-groupes distingués.
    1.2. Théorèmes d'isomorphisme.
    1.3. Groupes simples, facteurs simples, théorème de Jordan-Hölder.
    1.4. Groupes résolubles.
    1.5. Actions.
    1.6. Extensions et produit semi-direct.

2. Groupes symétriques et alternés.

    2.1. La signature.
    2.2. Générateurs de Sn et An.
    2.3. Simplicité de An.
    Complément : Calcul effectif avec les groupes. Où l'on répond à la question : à quoi sert-il d'engendrer Sn avec deux éléments ?

3. Géométrie vectorielle et groupes linéaires.

    3.1. Comment fait-on de la géométrie ?
    3.2. Transitivité des actions de groupe.
    3.3. Le groupe linéaire et quelques sous-groupes classiques.
    3.4. Générateurs de GL(E) et SL(E).
    3.5. Conjugaison des transvections. Commutateurs.
    3.6. Simplicité de PSL.
    3.7. Cas des corps finis.
    3.8. Décomposition de Bruhat et décomposition LU.
    Complément : la notation 𝔽q et ses dangers (M. Demazure, Cours d'algèbre, Cassini).
    Complément : la décomposition LU (Ph. Ciarlet, Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation, Masson).

4. Géométrie affine et géométrie projective.

    4.1. La structure de l'espace (ou : pourquoi la géométrie affine vous est familière).
    4.2. Espaces affines et sous-espaces affines.
    4.3. Applications affines ; groupe affine.
    4.4. Trois théorèmes de géométrie plane, et le simplexe régulier.
    4.5. Géométrie projective : géométrie de la vision.
    4.6. Espaces projectifs et sous-espaces projectifs.
    4.7. Hyperplans à l'infini, espaces affines à distance finie.
    4.8. Dualité projective.
    4.9. Homographies.
    Complément : J. Lelong-Ferrand, chapitre de géométrie affine dans Les fondements de la géométrie, PUF.

5. Formes quadratiques sur ℝ. Groupes orthogonaux

    5.1. Le groupe orthogonal ; générateurs.
    5.2. Compacité et connexité.
    5.3. Simplicité.
    5.4. Décomposition polaire.